Bestäm värdet av k och bevisa en formel

detrr skrev:

Hej, min uppgift lyder såhär: 

a) Bestäm värdet av k utan att använde räknare då $5·9! + 5·8! = k · 8!$

b) Visa att $a · n! + a(n+1)$ kan skrivas $a · n! (n + 2)$

 

Såhär har jag börjat:

a)$$\begin{gathered} 5 · (9! + 8!) = k · 8! \\ k = ( 5 · (9! + 8!\left)\right) / 8! \end{gathered}$$

 

Men hur ska man lösa detta utan miniräknaren? 

Bra början. Fortsätt med att faktorisera 9! + 8!

Är du med på att t.ex

$11! = 11\cdot10!$

Kan du använda något liknande här?

Om man fortsätter på din lösning kan man ju dividera vardera term för sig:

$k=\dfrac{5(9!+8!)}{8!}=5(\dfrac{9!}{8!}+\dfrac{8!}{8!})$

Vet du vad kvoten av $9!$ och $8!$ blir?

AlvinB skrev:

Om man fortsätter på din lösning kan man ju dividera vardera term för sig:

$k=\dfrac{5(9!+8!)}{8!}=5(\dfrac{9!}{8!}+\dfrac{8!}{8!})$

Vet du vad kvoten av $9!$ och $8!$ blir?

 Nej inte utan miniräknare 

Dr. G skrev:

Är du med på att t.ex

$11! = 11\cdot10!$

Kan du använda något liknande här?

 Nej det visste jag inte. Är det så för alla t ex om vi tar 8! = 8 * 7!

Tänk vad definitionen av $8!$ är:

$8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=8\cdot\underbrace{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}_{lika\ med\ 7!}=8\cdot7!$

Aa okej, nu är jag med. Om man använder det inom parantesen kan man förkorta bort 8! så att man får 9  och jag antar att 8! / 8! = 1. Så då får jag att k = 5 * ( 9 + 1) = 50. Stämmer det? 

detrr skrev:

Aa okej, nu är jag med. Om man använder det inom parantesen kan man förkorta bort 8! så att man får 9  och jag antar att 8! / 8! = 1. Så då får jag att k = 5 * ( 9 + 1) = 50. Stämmer det? 

 Japp, det stämmer!

Ett annat lösningsalternativ kunde ha varit att från början bara bryta ut $8!$ ur VL:

$5\cdot9!+5\cdot8!=k\cdot8!$

$8!(5\cdot9+5\cdot1)=k\cdot8!$

$8!(45+5)=k\cdot8!$

$50\cdot8!=k\cdot8!$

$k=50$

AlvinB skrev:

 Japp, det stämmer!

Ett annat lösningsalternativ kunde ha varit att från början bara bryta ut $8!$ ur VL:

$5\cdot9!+5\cdot8!=k\cdot8!$

$8!(5\cdot9+5\cdot1)=k\cdot8!$

$8!(45+5)=k\cdot8!$

$50\cdot8!=k\cdot8!$

$k=50$

 Det var det jag menade med att faktorisera 9! + 8!

Yngve skrev:

AlvinB skrev:

 Japp, det stämmer!

Ett annat lösningsalternativ kunde ha varit att från början bara bryta ut $8!$ ur VL:

$5\cdot9!+5\cdot8!=k\cdot8!$

$8!(5\cdot9+5\cdot1)=k\cdot8!$

$8!(45+5)=k\cdot8!$

$50\cdot8!=k\cdot8!$

$k=50$

 Det var det jag menade med att faktorisera 9! + 8!

 Aha okej. Jag hängde inte med först. 

På b) uppgiften började jag såhär. Men jag undrar om man kan multiplicera in ! i parantesen? 

Att bryta ut $a$ så att du får

$a(n!+(n+1)!)$

är en bra början. Kan du bryta ut någon mer faktor? (Kolla på vad jag bröt ut på a-uppgiften)

Menar du då att man får: 

$a·( n · n! + (n+1)!)$

Nja, nu har du ju ett extra $n$ från ingenstans. Pröva istället att skriva om $(n+1)!$ som $n!\cdot(n+1)$ och bryt ut största gemensamma faktor.

B-uppgiften är felaktigt fomulerad/avskriven.

Grunduttrycket ska vara $a\cdot n!+a(n+1)!$

Bryt ut a och utnyttja sedan att $(n+1)!=(n+1)·n!$ för att faktorisera ytterligare.