Bestäm värdemängden för f då Df=(0,1) (Matematik/Universitet)

Om du testar vad f(x) blir när x=0,5?

Smutsmunnen skrev:
Om du testar vad f(x) blir när x=0,5?

jag får det till f(1/2)=11.

Skissa funktionen. När x går mot 0 så går funktionen mot oändlighet. Samma sak då x går mot 1. Det borde således finnas ett minimum för funktionen då x ligger mellan 0 och 1. Hur skulle man kunna hitta ett sådant minimum (spoiler: derivata)?

PATENTERAMERA skrev:
Skissa funktionen. När x går mot 0 så går funktionen mot oändlighet. Samma sak då x går mot 1. Det borde således finnas ett minimum för funktionen då x ligger mellan 0 och 1. Hur skulle man kunna hitta ett sådant minimum (spoiler: derivata)?

Så värdemängden är alltså (-inf,inf)? Vi har inte kommit till derivata användningen i kursen.

Hur kom du fram till det? För vilket x blir funktionen -1?

Detta verkar vara en gammal tentafråga, så man har säkert gått igenom derivata vid det tillfälle som man förväntas lösa uppgiften. Dessutom är derivata gymnasiekunskap som man bör ha på sina fem fingrar.

PATENTERAMERA skrev:
Hur kom du fram till det? För vilket x blir funktionen -1?

Detta verkar vara en gammal tentafråga, så man har säkert gått igenom derivata vid det tillfälle som man förväntas lösa uppgiften. Dessutom är derivata gymnasiekunskap som man bör ha på sina fem fingrar.

Ja så kan det vara. Vi får se hur assistenten löser denna fråga för jag minns inte hur man gjorde sånt. Jag tänkte bara bestämma allmänt definitionsmängd samt värdemängd för en funktion utan derivata inblandning.

Du kan kanske göra det algebraiskt. Men känns jobbigt.

Definitionsmängden består av alla värden a sådana att ekvationen

1/x + 4/(1-x) = a

har en lösning x som ligger mellan 0 och 1.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan kanske göra det algebraiskt. Men känns jobbigt.

Definitionsmängden består av alla värden a sådana att ekvationen

1/x + 4/(1-x) = a

har en lösning x som ligger mellan 0 och 1.

Men definitionsmängden är angiven till D_f=(0,1)? Jag är inte med riktigt varför du sätter VL lika med a och påstår att den har en lösning i x mellan 0 och 1, var kommer detta ifrån?

Jag menade värdemängden.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du kan kanske göra det algebraiskt. Men känns jobbigt.

Definitionsmängden består av alla värden a sådana att ekvationen

1/x + 4/(1-x) = a

har en lösning x som ligger mellan 0 och 1.

Men definitionsmängden är angiven till D_f=(0,1)? Jag är inte med riktigt varför du sätter VL lika med a och påstår att den har en lösning i x mellan 0 och 1, var kommer detta ifrån?

Värdemängden menade jag. Tänk igenom vad som menas med värdemängd så klarnar det nog.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du kan kanske göra det algebraiskt. Men känns jobbigt.

Definitionsmängden består av alla värden a sådana att ekvationen

1/x + 4/(1-x) = a

har en lösning x som ligger mellan 0 och 1.

Men definitionsmängden är angiven till D_f=(0,1)? Jag är inte med riktigt varför du sätter VL lika med a och påstår att den har en lösning i x mellan 0 och 1, var kommer detta ifrån?

Värdemängden menade jag. Tänk igenom vad som menas med värdemängd så klarnar det nog.

Värdemängden är alla tillåtna värden som f(x) kan anta. Här valde jag V_f=(0,1).

Du kan inte välja, det bestäms av uttrycket för f(x) och D_f.

V_f = {f(x): x $\in$ D_f}.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan inte välja, det bestäms av uttrycket för f(x) och D_f.

V_f = {f(x): x $\in$ D_f}.

Okej. Hur uttalar man det i mattespråk? är det att värdemängden består av f(x) så att x är i sin definitionsmängd?

Ja, precis, värdemängden är mängden av alla funktionsvärden f(x) för alla x i D_f.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, precis, värdemängden är mängden av alla funktionsvärden f(x) för alla x i D_f.

Tack!

Om man inte känner till derivata så kan man lösa problemet algebraiskt. Varning: lite bökigt.

Vi vill då bestämma alla värden på a för vilka ekvationen

$\frac{1}{x} + \frac{4}{1 - x} = a$

har lösningar x som ligger mellan 0 och 1.

Ekvationen kan skrivas om till en andragradare

$a x^{2} + (3 - a) x + 1 = 0$ .

Om a = 0 så blir x < 0, så a = 0 ingår inte i värdemängden. I fortsättningen antar vi att a är skilt från 0.

Lösningen till andragradaren blir

x = $\frac{a - 3 \pm \sqrt{{(a - 5)}^{2} - 16}}{2 a}$ .

För att vi skall ha reella lösningar så måste uttrycket under roten vara icke-negativt.

Det betyder att $a \geq 9$ eller $a \leq 1$ .

Vi har således tre möjliga intervall för a att beakta.

I. $a \geq 9$ .

II. 0 < a $\leq 1$ .

III. a < 0.

Notera att uttrycken för x är kontinuerliga funktioner av a på vart och ett av intervallen.

Det är ”rättframt” att visa att uttrycken för x aldrig antar värdena 0 eller 1 på något av intervallen I-III. Lämnas som övning.

Det betyder att vi på varje intervall har tre alternativ för varje uttryck för x: x är större än 1 för alla värden på a; x är mindre än 0 för alla värden på a; eller x ligger mellan 0 och 1 för alla värden på a.

Betrakta intervall l. För a = 9 så blir x = 1/3 (med både plus- och minustecken framför roten). Såldes ligger x mellan 0 och 1 för alla a i intervall I. Så intervall I ingår i värdemängden till f.

Betrakta intervall II. För a = 1 så blir x = -1 (för både plus och minus). Så x är negativt för alla a i intervall II, som därmed inte ingår i värdemängden till f.

Intervall III lämnas som övning. Det visar sig dock att intervall III inte ingår i värdemängden till f.

Slutsats V_f = intervall I = [9, $\infty$ ).

Tillägg: 29 aug 2024 16:08

Horisontell axel är a och vertikal är x.

Plustecken framför roten:

Minustecken framför roten: