Bestäm uttryck vinklar

Linjen AA₁ hjälper mycket (där A₁ är cirkelns mittpunkt).

Du kan beräkna vinklarna vid C, A, A₁, D och sedan F.

Macilaci skrev:

Linjen AA₁ hjälper mycket (där A₁ är cirkelns mittpunkt).

Du kan beräkna vinklarna vid C, A, A₁, D och sedan F.

Varför har du flyttat punkt D? Och hur ska jag räkna ut vinklarna C , A och A1?

Du ska bevisa att <DCA=<CBA=<BCA

Davitk skrev:

Du ska bevisa att <DCA=<CBA=<BCA

Jag tror inte att det stämmer.

Jag ber om ursäkt. Det var förvirrande att punkt D och E var inte med i bilden och att jag nänmde en annan punkt D. 
Här är den korrigerade bilden: (Nu gäller det att beräkna vinklarna vid C, A, A₁, A₂ och sedan F)

Du kan börja t.ex. så här:

1) Om <ACD = v, då är <A₁CA = 90-v (för <A₁CD är rätvinkel, för DE är en tangent)

2) <A₁AC = A₁CA = 90-v (för AA₁C är likbent)

3) <A₁AB = <A₁AC = 90-v (det är kanske svårast att inse, men tänk på symmetrin)

...osv

Macilaci skrev:

Davitk skrev:

Du ska bevisa att <DCA=<CBA=<BCA

Jag tror inte att det stämmer.

Att <DCA=<CBA är grundläggande faktum. I din bild <AA_1C=2<ABC och <ACA_1=(180-<AA_1)/2 Vi också vet att <A_1CD=90. Vi kan härleda att <DCA=<CBA. Dessutom är AC=AB så <CBA=<ACB 

Hur många variabler får uttrycket innehålla? Jag tänker att man kan uttnyttja att $∆$ABC är likbent och att $\angle v$ är en yttervinkel till $∆$AFC.

Om vi kallar basvinklarna i $∆$ABC för $x$ blir $\angle$CAB $180-2x$. 

Av det följer att $\angle$AFC$+(180-2x)=\angle v$.

Jag kanske tänker konstigt men det verkar som de andra svaren är väldigt komplicerade.

Tillägg: 3 sep 2022 10:54

Oj, vad dum jag är. Man får nog inte introducera sina egna variabler. 

Ursäkta!

Davitk skrev:

Macilaci skrev:

Visa föregående citat

Davitk skrev:

Du ska bevisa att <DCA=<CBA=<BCA

Jag tror inte att det stämmer.

Att <DCA=<CBA är grundläggande faktum. I din bild <AA_1C=2<ABC och <ACA_1=(180-<AA_1)/2 Vi också vet att <A_1CD=90. Vi kan härleda att <DCA=<CBA. Dessutom är AC=AB så <CBA=<ACB 

Ja, du har rätt. Det stämmer. Jag hade fel.

naytte skrev:

Hur många variabler får uttrycket innehålla? Jag tänker att man kan uttnyttja att $∆$ABC är likbent och att $\angle v$ är en yttervinkel till $∆$AFC.

Om vi kallar basvinklarna i $∆$ABC för $x$ blir $\angle$CAB $180-2x$. 

Av det följer att $\angle$AFC$+(180-2x)=\angle v$.

Jag kanske tänker konstigt men det verkar som de andra svaren är väldigt komplicerade.

---

Tillägg: 3 sep 2022 10:54

Oj, vad dum jag är. Man får nog inte introducera sina egna variabler. 

Ursäkta!

Men du har rätt. Du behöver bara ta hänsyn till vad Davitk skrev: x = $\nu$

Förslag till sammanfattning:
<ACA1 = <CAA1 = 90 - v             (likbenthet)
<CAB = 2(90-v)                              (symmetri)
<AFD = v - 2(90-v) = 3v - 180    (yttervinkelsatsen på triangel ACF)

Men hur kommer det sig att vi bara kan anta att linjen som går genom $A_1$ faktiskt också skär C?

Det var jag som ritade in linjen så att den går genom A₁ och C. (Så det gör det per definition).

Den är vinkelrät till tangenten DE.

Macilaci skrev:

Det var jag som ritade in linjen så att den går genom A₁ och C. (Så det gör det per definition).

Den är vinkelrät till tangenten DE.

Ja men hur vet du att cirkelns mittpunkt ligger rakt över punkt C?

Om tangenten är horisontell (parallell med x-axeln, figuren är ritad så) är linjen genom cirkelns medelpunkt och tangeringspunkten vertikal. Eftersom linjerna bildar rät vinkel. Alltså är medelpunkten i figuren belägen "rakt över" tangeringspunkten. Men det väsentliga är bara den räta vinkeln som vi använder för att föra in beteckningen v i trianglarna. 

Jag hänger inte med på hur det gör att man kan anta att C och $A_1$ har "samma x-koordinat". Man kan ju bilda en rät vinkel med en rak linje överallt i figuren. 

Som jag skrev är det inte väsentligt med "samma x-koordinat". Inget annat ändras om figuren skulle vridas lite.
Macilaci har dragit två hjälplinjer i figuren, båda genom cirkelns medelpunkt, en genom A och en genom C. 
Hjälplinjer bestämmer man själv var man drar, och man drar dem smart så att de är till hjälp vid lösningen av uppgiften.
Macilacis linjer bildar en rät vinkel, skapar en ny likbent triangel och delar vinkeln vid A i två lika delar,
allt på sätt som enkelt leder till lösningen.

Det jag inte förstår är hur det faktum att linjerna bildar en rät vinkel gör att medelpunkten är belägen direkt över tangeringspunkten.

Men du är med på att de bildar en rät vinkel?
Det är det enda man fortsättningsvis använder sig av.
I övrigt kan jag nog inte förklara bättre än med det jag skrev om horisontellt och vertikalt.
Vertikalitet innebär definitionsmässigt att punkterna är belägna rakt över varandra.

Louis skrev:

Men du är med på att de bildar en rät vinkel?
Det är det enda man fortsättningsvis använder sig av.
I övrigt kan jag nog inte förklara bättre än med det jag skrev om horisontellt och vertikalt.
Vertikalitet innebär definitionsmässigt att punkterna är belägna rakt över varandra.

Ja, men det spelar väl jättestor roll om $A_1$och C ligger på samma linje eller inte? Hur ska man börja benämna fler vinklar än

<$AC{A}_1$om man inte kan anta att sträcka $A{A}_1$= sträcka $A_{1}C$?

Eftersom båda sträckorna är radier är de lika.
Det var därför Macilaci valde att dra en hjälplinje genom A₁ och C (och en genom A och A₁),
så att en rät vinkel och en ny likbent triangel skapades.

Vrider man figuren lite slipper man tänka på "rakt över" om det är till besvär.

Tangenten och radien till tangeringspunkten bildar alltid en rät vinkel.

Herre gud, ursäkta min dumhet!

Det är ju självklart att en linje som skär en tangeringspunkt också kommer skära mittpunkten, tangeringspunkten är ju alltid belägen på samma linje som mittpunkten!

Det är ju självklart att en linje som skär en tangeringspunkt också kommer skära mittpunkten, tangeringspunkten är ju alltid belägen på samma linje som mittpunkten!

Den här meningen låter lite konstig. Två punkter ligger alltid på samma linje (dvs två olika punkter bestämmer en rät linje).

Louis skrev:

Förslag till sammanfattning:
<ACA1 = <CAA1 = 90 - v             (likbenthet)
<CAB = 2(90-v)                              (symmetri)
<AFD = v - 2(90-v) = 3v - 180    (yttervinkelsatsen på triangel ACF)

Menar du med symmetri att <CAB=2(90-v) eftersom det delas i en bisektris? Det jag undrar är hur man kan veta att <CAB delas in i lika stora delar, är det för att det är radien som gör det? 

Jag vet inte vilket som är enklaste sättet att bevisa det.
Det var Macilaci som skrev "tänk på symmetrin".
Om man från A drar olika sekanter på var sin sida om diametern genom A,
är sekantens längd (inom cirkeln) en funktion av vinkeln med diametern. Och omvänt.
Är längderna lika är också vinklarna lika.

Louis skrev:

Jag vet inte vilket som är enklaste sättet att bevisa det.
Det var Macilaci som skrev "tänk på symmetrin".
Om man från A drar olika sekanter på var sin sida om diametern genom A,
är sekantens längd (inom cirkeln) en funktion av vinkeln med diametern. Och omvänt.
Är längderna lika är också vinklarna lika.

Okej, men jag har en fråga till

Kan man se att <ACD=<ACB utan att behöva rita nya andra linjer som A1 osv. Eller måste man rita egna linjer för att veta att <ACD=<ACB

Jag använde mig inte av den likheten.
Basvinklarna i triangel ABC är (180-2(90-v))/2 = v.
Men det använder linjen A A₂.
Jag har inte försökt komma på något annat sätt.