Bestäm tangentplanet till torus

Notera att $\frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \theta } och \frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \varphi }$ är tangentvektorer till torusen i punkten $\psi \left(\theta , \varphi \right)$.

Tangentplanet kan därför skrivas

$\overrightarrow{r}\left(s, t\right)=\psi \left(\theta , \varphi \right)+s\frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \theta }+t\frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \varphi }$.

PATENTERAMERA skrev:

Notera att $\frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \theta } och \frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \varphi }$ är tangentvektorer till torusen i punkten $\psi \left(\theta , \varphi \right)$.

Tangentplanet kan därför skrivas

$\overrightarrow{r}\left(s, t\right)=\psi \left(\theta , \varphi \right)+s\frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \theta }+t\frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \varphi }$.

Är det inte så jag gjort?

$Jag får att \frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \theta } = (-a\sin \theta \cos \varphi , -a\sin \theta \sin \varphi , a\cos \theta )$

Sätter man koefficienten = s bör ju denna vektor då bidra med t.ex $s(-a\sin \theta \times \cos \varphi )$ i x-led, men jämför man med facit har de dividerat bort $-a\sin \theta$från hela vektorn. Kollar man på vektorn för $\frac{\partial \psi \left(\theta , \varphi \right)}{\partial \varphi }$ har de gjort samma sak fast dividerat bort $(b+a\cos \theta )$. Jag förstår inte varför? Man kan väl inte bara baka in den i s & t eftersom valet av ${\theta }_0 resp. {\phi }_0$påverkar väl tangentvektorns riktning? :s

Ah, nu förstår jag din fråga. Eftersom i vår beskrivning av planet så är $\theta \mathrm{och} \varphi$ fixerade värden, medan s och t är variabler. Så att dividera med de uttryck som du säger förändrar vektorernas längder,  men de har fortfarande samma riktning och är fortfarande tangentvektorer till torusen. Man får väl dock vara försiktig så att man inte dividerar eller multiplicerar med något som är noll.

PATENTERAMERA skrev:

Ah, nu förstår jag din fråga. Eftersom i vår beskrivning av planet så är $\theta \mathrm{och} \varphi$ fixerade värden, medan s och t är variabler. Så att dividera med de uttryck som du säger förändrar vektorernas längder,  men de har fortfarande samma riktning och är fortfarande tangentvektorer till torusen. Man får väl dock vara försiktig så att man inte dividerar eller multiplicerar med något som är noll.

Ah ok så i båda partialderivatorna är $\theta \& \varphi$ konstanta värden, där koordinaterna representerar hur mycket (x,y,z) ändras när man ändrar på $\theta$eller $\varphi$ någon bit s eller t. Av någon anledning tänkte jag att för partialderivatan med avseende på tex $\theta$ låter man $\theta$ variera i partialderivatan medans $\varphi$är fixerad & vice versa, men det är ju d$\theta$ som varierar för ett fixt ($\theta ,\varphi$) om jag förstår rätt.

Tack för hjälpen!