Bestäm tangenternas ekvationer algebraiskt.

De tangeringspunkter vi har kan vi kalla B och R (för Blå linje och Röd linje). De har koordinaterna B = (b, -b²) och R = (r, -r²). Genom att beräkna lutningen mellan B och (1,8), respektive R och (1,8), hittar vi två lutningar. Vilka lutningar är det? :)

pepparkvarn skrev:

De tangeringspunkter vi har kan vi kalla B och R (för Blå linje och Röd linje). De har koordinaterna B = (b, -b²) och R = (r, -r²). Genom att beräkna lutningen mellan B och (1,8), respektive R och (1,8), hittar vi två lutningar. Vilka lutningar är det? :)

(y₁-8)/(x₁-1) = k

Hur får jag fram (x₁, y₁)  ? Alltså koordinaterna för tangeringspunkten för B / R?

Hur förhåller sig y₁ till x₁? Vad är k? :)

lillmackish skrev:

pepparkvarn skrev:

De tangeringspunkter vi har kan vi kalla B och R (för Blå linje och Röd linje). De har koordinaterna B = (b, -b²) och R = (r, -r²). Genom att beräkna lutningen mellan B och (1,8), respektive R och (1,8), hittar vi två lutningar. Vilka lutningar är det? :)

(y₁-8)/(x₁-1) = k

Hur får jag fram (x₁, y₁)  ? Alltså koordinaterna för tangeringspunkten för B / R?

Vilken är tangenten i punkten?

PeBo skrev:

lillmackish skrev:

Visa föregående citat

pepparkvarn skrev:

De tangeringspunkter vi har kan vi kalla B och R (för Blå linje och Röd linje). De har koordinaterna B = (b, -b²) och R = (r, -r²). Genom att beräkna lutningen mellan B och (1,8), respektive R och (1,8), hittar vi två lutningar. Vilka lutningar är det? :)

(y₁-8)/(x₁-1) = k

Hur får jag fram (x₁, y₁)  ? Alltså koordinaterna för tangeringspunkten för B / R?

Vilken är tangenten i punkten?

Jag förstår inte frågan. Hur får jag fram koordinaterna för tangeringspunkterna av vardera tangent?
Alltså, var tangerar B eller R f(x)=(-x²)

Det var inte en fråga utan en ledtråd. Det ger dig en ekvation som ger dig två punkter där linjen tangerar kurvan och har samma lutning.

PeBo skrev:

Det var inte en fråga utan en ledtråd. Det ger dig en ekvation som ger dig två punkter där linjen tangerar kurvan och har samma lutning.

Sorry! Det är nog så att uppgiften utgår ifrån att jag har en grundkunskap som jag inte har. Den utgår ifrån att jag kan beräkna tangeringspunkten för en given funktion givet en given koordinat på tangenten, vilket jag inte kan. Ifall jag lär mig det kan jag lista ut resten på egen hand. Problemet är att jag på grund av tvister med CSN varit utan inkomst sedan kurstart, därigenom utan kursbok, vilket innebär att jag missat mycket av nyanserna kring kursen. Jag har dessutom slutprov imorgon, och är hyfsat säker på att jag besitter tillräckligt med kunskap för att klara mig till ett godkänt.

Jag skulle samtidigt uppskatta ifall du kunde förklara grundfrågan till mig som att jag ännu inte vet, för att vidare utrusta mig inför slutprovet.

Alltså:

Hur beräknar jag tangeringspunkten för en given funktion givet en given koordinat?

Lösningsmetoden är följande: 

1. De två tangeringspunkterna kan skrivas som R = (r, -r²) och B = (b, -b²). 
2. Hitta ett uttryck för lutningen hos f(x) för varje x. 
3. Ställ upp en ekvation för lutningen mellan tangeringspunkten R och (1,8), och en ekvation för lutningen mellan tangeringspunkten B och (1,8). 
4. Sätt dessa ekvation lika med lutningen i tangeringspunkten R respektive tangeringspunkten B. 
5. Du har nu två ekvationer med en okänd variabel vardera. Dessa kan du lösa för att få ut lutningen hos y_R och y_B. 
6. Hitta ekvationerna för linjerna med hjälp av y = kx + m och punkten (1,8). 

:)

Du är så oerhört nära, men du har råkat ut för ett teckenslarv. Du kan teckna lutningen som $\frac{8-\left(-x^2\right)}{1-x}$som lutningen mellan punkten $\left(x,-x^2\right)$och $\left(1,8\right)$

Men den är också $-2x$

från derivatan på kurvan och din räta linje. Det sista är viktigt. Tangenten till kurvan och den räta linjen har samma lutning där de tangerar varandra. Den är k (från kvoten du tecknade - om än med teckenfel) och derivatan till kurvan i punkten. Där bor din ekvation.

Nu är du hemma:

Lös den för två värden på x:

Tack till er båda! Väldigt tydligt. Jag förstår var jag gick vilse.

Att (x, -x²) är ett uttryck för alla punkter på f(x)=(-x²) är något jag förbisedde. Det är så enkelt att y=(-x²), men jag missade det. Att sedan likställa derivatan med tangenten för de båda koordinaterna följer logiskt. Resten följer automatiskt.

Tack för klarheten!

EDIT: När jag ändå är igång. Vilket är det effektivaste sättet att lösa ut x genom (8+x²)/(1-x) = -2x, utan att behöva prova sig fram till rätt svar? Det går väl inte att faktorisera det längre. Hur gjorde ni?

2nd EDIT: Det var inget. Jag multiplicerar båda led med (1-x), vilket gör det lättare. Tack för hjälpen ännu en gång!

Jag skulle löst den enligt följande.

Utifrån enpunktsformeln kan tangenterna i punkten $(1,8)$ skrivas som:

$y-8=k(x-1)\Rightarrow$

$y=kx+8-k$

Tangenten ska skära kurvan $y=-x^2$ vilket ger ($x$ är x-koordinaten för skärningspunkten):

$y=kx+8-k=-x^2$

Vidare gäller att $k=y'(x)=-2x\Rightarrow$

$x=-\frac{k}{2}$

$-\frac{k^2}{2}-k+8=-\frac{k^2}{4}$

pq-formeln:

$k_1=4$

$k_2=-8$

Tangent 1: $y=4(x-1)+8=4x+4$

Tangent 2: $y=-8(x-1)+8=-8x+16$

tomast80 skrev:

Jag skulle löst den enligt följande.

Utifrån enpunktsformeln kan tangenterna i punkten $(1,8)$ skrivas som:

$y-8=k(x-1)\Rightarrow$

$y=kx+8-k$

Tangenten ska skära kurvan $y=-x^2$ vilket ger ($x$ är x-koordinaten för skärningspunkten):

$y=kx+8-k=-x^2$

Vidare gäller att $k=y'(x)=-2x\Rightarrow$

$x=-\frac{k}{2}$

$-\frac{k^2}{2}-k+8=-\frac{k^2}{4}$

pq-formeln:

$k_1=4$

$k_2=-8$

Tangent 1: $y=4(x-1)+8=4x+4$ 

Tangent 2: $y=-8(x-1)+8=-8x+16$

−k/2^2−k+8=−k^2/4

Det här steget förstår jag inte. Jag ser att du har löst ut k så det står i princip x^2 -k+8= - k^2/4 men varför?

elsassss skrev:

tomast80 skrev:

Jag skulle löst den enligt följande.

Utifrån enpunktsformeln kan tangenterna i punkten $(1,8)$ skrivas som:

$y-8=k(x-1)\Rightarrow$

$y=kx+8-k$

Tangenten ska skära kurvan $y=-x^2$ vilket ger ($x$ är x-koordinaten för skärningspunkten):

$y=kx+8-k=-x^2$

Vidare gäller att $k=y'(x)=-2x\Rightarrow$

$x=-\frac{k}{2}$

$-\frac{k^2}{2}-k+8=-\frac{k^2}{4}$

pq-formeln:

$k_1=4$

$k_2=-8$

Tangent 1: $y=4(x-1)+8=4x+4$ 

Tangent 2: $y=-8(x-1)+8=-8x+16$

−k/2^2−k+8=−k^2/4

 

Det här steget förstår jag inte. Jag ser att du har löst ut k så det står i princip x^2 -k+8= - k^2/4 men varför?

Jag sätter upp det som en ekvation i lutningen $k$ isf att lösa ut x-värdena för tangeringspunkterna. På så sätt slipper jag ett steg i beräkningen, men det hade såklart funkat med en ekvation i $x$ isf $k$ också.

vilket steg hoppar du över?