Bestäm tangenterna till y = f(x) som går genom punkten P

Det är en jättebra början! Rita upp situationen, vilka tangenter skulle rimligtvis kunna existera? 

Kanelbullen skrev:

Jag ska bestämma de tangenter till $y = f\left(x\right)$(om det finns några), som går genom punkten P , där $f\left(x\right)$$= 2x^3-3x+5$ och P = (0, 1).

Hur ska jag gå tillväga för att lösa denna uppgift? Är det en bra idé att börja med att rita in $f\left(x\right)$ och punkten (0, 1) i en graf?

Ja det är en bra idé.

Sedan kan du använda att tangenten i punkten (x; f(x)) har lutningen f'(x).

För att denna tangent ska gå genom punkten (0; 1) så måste den räta linjen genom tangeringspunkten och punkten (0; 1) vara lika med tangentens lutning.

Nu har jag skissat grafen och jag tycker mig se var en av tangenterna ska finnas.

Sedan tror jag att det finns ytterligare en tangent som går genom punkten P och som tangerar grafen långt ner, nedanför (3;40) någonstans.

Kan det stämma?

Är det intressant att rita grafen i annan skala avseende y-axeln så att man bättre kan se y-värden lägre än -40 och mer komprimerat?

Om jag förstått rätt så ska inte tangenten korsa grafen, om inte kurvan ändrar sin krökning i punkten P (vilket den inte gör).

Vilken lutning har tangenten som går genom P?

Varför tror du att det skall finnas en tangent till? Menar du att det skall vara en linje som tangerar kurvan i en annan punkt än P, men som går genom punkten P och har en annan lutning än linjen du har ritat?

Kanelbullen skrev:

Nu har jag skissat grafen och jag tycker mig se var en av tangenterna ska finnas.

Sedan tror jag att det finns ytterligare en tangent som går genom punkten P och som tangerar grafen långt ner, nedanför (3;40) någonstans.

Kan det stämma?

Är det intressant att rita grafen i annan skala avseende y-axeln så att man bättre kan se y-värden lägre än -40 och mer komprimerat?

Om jag förstått rätt så ska inte tangenten korsa grafen, om inte kurvan ändrar sin krökning i punkten P (vilket den inte gör).

Snygg figur!

En tangent kan mycket väl korsa grafen på ett eller flera ställen.

Ställ upp de matematiska samband som måste gälla för att en tangent ska gå genom punkten (0; 1).

Lös den/de ekvation/er som du då får fram.

Lösningarna kommer att ge dig alla de tangenter som uppfyller villkoren.

Vet du hur du ska ställa upp sambanden?

Ansats: Tangeringspunkten $P_0:(x_0,y_0)$, där

$y_0=f(x_0)$. Tangentens riktningskoefficient:

$\dfrac{y_0-1}{x_0-0}=f^\prime (x_0)$.
Lös ut $x_0$ ur denna ekvation.

Vad tror ni om den här lösningen? Är det något som jag missat?

Kanelbullen skrev:

Vad tror ni om den här lösningen? Är det något som jag missat?

Rätt, snyggt, prydligt och tydligt.

Jag har bara två kommentarer.

1. Det skulle vara snyggt med en lite mer utförlig lösning av tredjegradsekvationen som leder till lösningen a = 1.
2. Efter att du har beräknat tangeringspunkten till (1; 4) så beräknar du tangentens lutning igen, villet är onödigt eftersom tangentens lutning ges av f'(1) och du redan har ett uttryck för f'(x).

Tack så jättemycket för responsen Yngve!