Bestäm tangenten till kurvan

Uppgiften lyder:

a) Bestäm tangenten till kurvan (x,y,z): ( $e^{2 t}, 3 e^{t}, 9 t + 4$ ) i punkten
(1,3,4).
b) Bestäm i punkten (1,1, $\sqrt{2}$ ) tangenten till den kurva som definieras
av ekvationssystemet $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4, x y = 1$

Om jag förstått det rätt ska jag nu först parametrisera kurvorna med hjälp av r=f(t)=x(t), y(t), z(t) och sedan kolla tangentens ekvation i parameterform. Men det som jag inte förstår trots att jag kollat på flera olika sidor är hur man gör parametriseringen. Vad ska x(t), y(t) och z(t) bli??

Är det (a) du talar om…?

r = (1, 3, 4) ger att t = 0

r’ = (2e^2t, 3e^t, 9)

r’(t = 0) = (2, 3, 9)

Du har en punkt och en riktningsvektor. Tangenten är

(x, y, z) = (1, 3, 4) + (2, 3, 9)t

Okej, då förstår jag a fallet, men hur blir det då i b fallet?

(b) Jag hoppades just du inte skulle fråga om det…

Jag funderar litet och återkommer. Det första jag tänker på är att tangenten till sfären är vinkelrät mot radien mot tangeringspunkten.

Använd att gradienterna är vinkelräta mot nivåytorna.

Jag försökte lägga in som spoiler men då fick ordbehandlaren krupp

Gradienten till sfären är (2x, 2y, 2z)

Gradienten till xy–1 är (y, x, 0)

Jag tänker att tangenten ska vara vinkelrät mot bägge. Kryssprodukten är

(–2xz, 2yz, 2x² –2y² ) som är (–8^0,5 , 8^0,5 , 0). Det är riktningsvektorn för tangenten så den kan skalas ned till (1, –1, 0)

Om jag tänkt rätt (obs OM) så blir tangentens ekv

(x, y, z) = (1, 1, 2^0,5 ) + (1, –1, 0)t

Ja, tack PATENTERAMERA, du tänker i samma banor verkar det.

Okej, tack så mycket för hjälpen det finns ännu en c uppgift som handlar om att beräkna båglängden av kardioiden med parameterframställningen

x=2acos t(1+cos t) och y= 2asin t(1+cos t) där $- π \leq t \leq π$

och a>0

Hur får jag början där då (kardioid är obekant för mig)

En kardoid är en kurva som formar ett hjärta, därav namnet.

Båglängd = integralen (rotenur( dx/dt ^2 + dy/dt ^2) dt )

Svara

Visa senaste svar