Bestäm tangent i punkten(1,2) till kurva

Anta att y är en funktion av x i närheten av den punkten, och derivera.

Edit: man kan inte anta det, så man borde inte tro på något man får fram genom att anta det. Men differentiera, dvs. hantera dx och dy separat. 

Hej!

Börja med att försöka ta fram ett uttryck för $\frac{dy}{dx}$. Evaluera sedan i punkten $\left(1,2\right)$ för att få fram lutningen på tangenten i den punkten. Kan du fortsätta därifrån?

Har fått ut dx/dy och dy/dx nu. Ska jag sätta in mitt x värde i min dx/dy funktion och samma för y då. Och får jag då två tangenter ?

Det är bara en tangent. 

Har du ritat upp kurvan? Då borde du se på ett ungeför vilket värde du har på lutningen för tangenten.

Metod 1:

Derivera implicit

$$\begin{gathered} x^3-xy+y^2=3 \\ \frac{d}{dx}(x^3-xy+y^2)=\frac{d}{dx}\left(3\right) \\ 3x^2-(y+x*\frac{dy}{dx})+2y\frac{dy}{dx}=0 \\ 3x^2-y-x*\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0 \\ -x*\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=-3x^2+y \\ \frac{dy}{dx}*(2y-x)=-3x^2+y \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2+y}{(2y-x)} \\ (x.y)=(1,2) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-3+2}{(4-1)}=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Metod 2:

Kvadratkompletera

$$\begin{gathered} x^3-xy+y^2=3 \\ ⋮ \\ {y}^2-xy=y^2-xy+\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}={(y-\frac{x}{2})}^2-\frac{x^2}{4} \\ ⋮ \\ x^3-xy+y^2=3 \\ {(y-\frac{x}{2})}^2-\frac{x^2}{4}+x^3=3 \\ {(y-\frac{x}{2})}^2=-x^3+\frac{x^2}{4}+3 \\ y-\frac{x}{2}=\pm \sqrt{-x^3+\frac{x^2}{4}+3} \\ y=\pm \sqrt{-x^3+\frac{x^2}{4}+3}+\frac{x}{2} \\ ⋮ \\ y=\sqrt{-x^3+\frac{x^2}{4}+3}+\frac{x}{2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}}{2\sqrt{-x^3+\frac{x^2}{4}+3}}+\frac{1}{2} \\ x=1 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-3+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2*\sqrt{-1+{\displaystyle \frac{1}{4}}+3}}+\frac{1}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{-5}{2}}}{2*\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{4}}}}+\frac{1}{2}=\frac{\frac{-5}{2}}{{\displaystyle \frac{6}{2}}}+\frac{1}{2}= \\ \frac{-5}{6}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

positiv version väljs för att enbart den kan utvärdera i punkten (x,y)=(1,2)