bestäm talet k i y'+ky=2x

Glöm inte att du får dela upp din lösning $y=y_p+y_h$ i partikulärlösningen $y_p$ och den homogena lösningen $y_h$.

Till att börja med, vad för svar får du på $y_h$ och $y_p$?

xddddddd skrev:

Frågan: Bestäm talet k så att det finns en lösning till differentialekvationen y'+ky=2x som uppfyller y(0)=1 och y'(0)=1

Min lösning: y = $C{e}^{kx}$ och $y\text{'}=kC{e}^{kx}$ och tillsammans med begynnelsevilkoren så får jag $y\left(0\right)=C=1 och y\text{'}\left(0\right)=k*C=k=1$

"k" är därför 1, men facit säger -1. Är det för att y'+ky egentligen är y' = ky vilket ger y'-ky vilket i sin tur gör exponenten i e till -k vilket resulterar i -1 för att derivatan då blir negativ? Kan någon ge en matematisk förklaring för när man antar att "k" är negativ och när den är positiv? Jag har nämligen löst ett flertal identiska problem men har aldrig förut använt mig av konverteringen av k till negativ i "generella" situationer som denna, vilket är varför jag är förvirrad

 k ska vara negativ annars stämmer inte din lösning.

sätt in  $y\text{'}=kC{e}^{kx}$ och $y=C{e}^{kx}$ i  y'+ky=0 (den homogena lösningen) så ser du att k måste vara negativ

Ditt problem är att funktionen $y(x) = Ce^{kx}$ där $x\geq 0$ inte är en lösning till din differentialekvation; den är däremot en lösning till differentialekvationen $y'(x) - ky(x) = 0$ men ditt högerled är ju inte noll-funktionen.

För att finna en lösning till din differentialekvation föreslår jag att du multiplicerar ekvationen med den integrerande faktorn $e^{kx}$ vilket gör att du kan skriva ekvationen

    $(y(x)e^{kx})' = 2xe^{kx}$

och integrera denna för att få

    $\displaystyle y(x)e^{kx} = C + \int 2xe^{kx}\,dx.$