Bestäm talet a så att parablerna y=x^2 och y=a(x-3)(x-5) precis berör varandra (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Multiplicera leden med (a - 1)^2 så slipper du bråk.

Sorry jag fortfarande är inte med...

$4 a^{2} = a (a - 1)^{2} * . . . . . j ä t t e b r å k s o m j a g o r k a r i n t e e n s u v e c k l a . . .$

Vad menar du med "precis rör varandra"? De kommer väl alltid att skära varandra oavsett värde på a?

Mindstormer skrev :
Vad menar du med "precis rör varandra"? De kommer väl alltid att skära varandra oavsett värde på a?

Jo men det hindrar inte att de dessutom tangerar ("precis berör") varandra i en punkt.

Mindstormer skrev :
Vad menar du med "precis rör varandra"? De kommer väl alltid att skära varandra oavsett värde på a?

De kan tangera varandra utan att skära varandra om a < 0

Du har kommit fram till att x^2 = a(x^2-8x+15)

För att kurvorna ska tangera varandra krävs att den ekvationen enbart har en lösning.

Lös alltså map x vad får du då?

Ture skrev :
Mindstormer skrev :
Vad menar du med "precis rör varandra"? De kommer väl alltid att skära varandra oavsett värde på a?
De kan tangera varandra utan att skära varandra om a < 0
Du har kommit fram till att x^2 = a(x^2-8x+15)
För att kurvorna ska tangera varandra krävs att den ekvationen enbart har en lösning.
Lös alltså map x vad får du då?

Du menar lösa x^2-8x+15?

Då får jag 3 och 5 som jag redan hade i det ursprungliga problemet... y=a(x-3)(x-5)

Du är i alla fall på rätt väg och så jobbigt blir det nog inte:

${(\frac{4 a}{a - 1})}^{2} = a ({(\frac{4 a}{a - 1})}^{2} - 8 (\frac{4 a}{a - 1}) + 15)$

multiplicera med (a - 1)^2

${(4 a)}^{2} = a ({(4 a)}^{2} - 8 (4 a) (a - 1) + 15 {(a - 1)}^{2})$

o.s.v

Daja skrev :
Ture skrev :
Mindstormer skrev :
Vad menar du med "precis rör varandra"? De kommer väl alltid att skära varandra oavsett värde på a?
De kan tangera varandra utan att skära varandra om a < 0
Du har kommit fram till att x^2 = a(x^2-8x+15)
För att kurvorna ska tangera varandra krävs att den ekvationen enbart har en lösning.
Lös alltså map x vad får du då?
Du menar lösa x^2-8x+15?
Då får jag 3 och 5 som jag redan hade i det ursprungliga problemet... y=a(x-3)(x-5)

Nej jag menar att du ska lösa x^2 = a(x^2-8x+15)

x = .... +- sqrt(...)

När uttrycket under roten är noll har ekvationen bara en lösning och då kan vi ha en tangeringspunk.

Du menar pq-formeln??

Jag fattar ingenting...

jodåDaja skrev :
Du menar pq-formeln??
Jag fattar ingenting...

Jodå, du förstår en hel del, men jag har inte uttryckt mig särskilt tydligt.

x^2 = a(x^2-8x+15) möblera om

x^2(1-a) +8ax -15 a = 0 dela med (1-a)

x^2 +8ax/(1-a) -15a/(1-a) = 0 använd pq

x = -4a/(1-a) +- sqrt( 16a^2/(1-a)^2 +15a)

För att kurvorna ska tangera varandra får vi bara ha en lösning vilket medför att x = -4a/(1-a) och uttrycket under roten är noll dvs:

16a^2/(1-a)^2 +15a = 0 lös den här ekvationen och du har a. (du får faktiskt två lösningar)

Du har väl ritat en figur?! Två parabler, en glad och en ledsen, de tangerar varandra i en punkt.

Ture skrev :
...
x^2 +8ax/(1-a) -15a/(1-a) = 0 använd pq
x = -4a/(1-a) +- sqrt( 16a^2/(1-a)^2 +15a)

Men vart tog konstanttermens nämnare vägen?

Yngve skrev :
Ture skrev :
...
x^2 +8ax/(1-a) -15a/(1-a) = 0 använd pq
x = -4a/(1-a) +- sqrt( 16a^2/(1-a)^2 +15a)
Men vart tog konstanttermens nämnare vägen?

Ja det kan man verkligen fråga sig!

ska vara x = -4a/(1-a) +- sqrt( 16a^2/(1-a)^2 +15a/(1-a))

och vi ska hitta de a som gör att 16a^2/(1-a)^2 +15a/(1-a) = 0

Ture skrev :
Yngve skrev :
Ture skrev :
...
x^2 +8ax/(1-a) -15a/(1-a) = 0 använd pq
x = -4a/(1-a) +- sqrt( 16a^2/(1-a)^2 +15a)
Men vart tog konstanttermens nämnare vägen?
Ja det kan man verkligen fråga sig!
ska vara x = -4a/(1-a) +- sqrt( 16a^2/(1-a)^2 +15a/(1-a))
och vi ska hitta de a som gör att 16a^2/(1-a)^2 +15a/(1-a) = 0

Ja, och som du säger så finns det två lösningar.

Den självklara lösningen är ju a = 0.

Om vi antar att a är skilt från 0 så kan vi förkorta med a och få en väldigt enkel ekvation.

Bra för @Daja att fundera på: Varför är inte a = 0 en godtagbar lösning på problemet?

2x=a(2x-8)
En stilla kontemplation över ovanstående...prövandes några vanliga heltal...som...
a=x=5

Hej Daja!

Du vill finna en punkt $(x,y) = (A,B)$ sådan att följande villkor är uppfyllda.

1. $B = A^2$ och $B = a(A-3)(A-5).$

2. Derivatorna i punkten sammanfaller: $2A = a(2A-8).$

Du har två ekvationer och två obekanta tal ( $a$ och $A$ ). Uttryck $A$ med hjälp av parametern $a$ och undersök om det finns några förbjudna parametervärden.

Albiki

Dr. G skrev :
Du är i alla fall på rätt väg och så jobbigt blir det nog inte:

${(\frac{4 a}{a - 1})}^{2} = a ({(\frac{4 a}{a - 1})}^{2} - 8 (\frac{4 a}{a - 1}) + 15)$
multiplicera med (a - 1)^2
${(4 a)}^{2} = a ({(4 a)}^{2} - 8 (4 a) (a - 1) + 15 {(a - 1)}^{2})$ $16 a^{2} = a (16 a^{2} - 32 a^{2} + 32 a + 15 a^{2} - 30 a + 15) 16 a = - a 2 + 2 a + 15$
o.s.v

Ah men just det, jag vet inte varför men jag föreställde mig en lång uttryck med a^3 och a^4. Sorry det var nog enkelt.

Så det blir:

$(4 a)^{2} = a (- a^{2} + 2 a + 15) a^{2} + 14 a - 15 = 0$

Och med pq förmeln får jag ut a=-15 och 1.

Hoppsan, i vilket punkt skulle dom beröra varandra? Eller hur verifierar jag att det är rätt?

Ture skrev :
Daja skrev :
Ture skrev :
Mindstormer skrev :
Vad menar du med "precis rör varandra"? De kommer väl alltid att skära varandra oavsett värde på a?
De kan tangera varandra utan att skära varandra om a < 0
Du har kommit fram till att x^2 = a(x^2-8x+15)
För att kurvorna ska tangera varandra krävs att den ekvationen enbart har en lösning.
Lös alltså map x vad får du då?
Du menar lösa x^2-8x+15?
Då får jag 3 och 5 som jag redan hade i det ursprungliga problemet... y=a(x-3)(x-5)
Nej jag menar att du ska lösa x^2 = a(x^2-8x+15)
x = .... +- sqrt(...)
När uttrycket under roten är noll har ekvationen bara en lösning och då kan vi ha en tangeringspunk.

Hmmm... det blev en riktigt slakteri:

Så $x^{2} = a (x^{2} - 8 x + 15) g e r o s s : x^{2} - a x^{2} - 8 a x + 15 a = 0 (1 - a) x^{2} - 8 a x + 15 a = 0 x^{2} - \frac{8 a x}{(1 - a)} + \frac{15 a}{(1 - a)} = 0 \frac{8 a x}{2 (1 - a)} \pm \sqrt{(\frac{8 a x}{2 (1 - a)})^{2} - \frac{15 a}{(1 - a)}} b l a b l a b l a . . . \sqrt{\frac{64 (a x)^{2}}{4 (1 - a)^{2}} - \frac{15 a}{(1 - a)}} b l a b l a b l a . . \pm \sqrt{\frac{64 (a x)^{2}}{4 (1 - a)^{2}} - \frac{15 a * 4 * (1 - a)}{(1 - a)}}$

Vaför måste det alltid vara så krångligt?!?

Ture skrev :
jodåDaja skrev :
Du menar pq-formeln??
Jag fattar ingenting...
Jodå, du förstår en hel del, men jag har inte uttryckt mig särskilt tydligt.
x^2 = a(x^2-8x+15) möblera om
x^2(1-a) +8ax -15 a = 0 dela med (1-a)
x^2 +8ax/(1-a) -15a/(1-a) = 0 använd pq
x = -4a/(1-a) +- sqrt( 16a^2/(1-a)^2 +15a)
För att kurvorna ska tangera varandra får vi bara ha en lösning vilket medför att x = -4a/(1-a) och uttrycket under roten är noll dvs:
16a^2/(1-a)^2 +15a = 0 lös den här ekvationen och du har a. (du får faktiskt två lösningar)

Du har väl ritat en figur?! Två parabler, en glad och en ledsen, de tangerar varandra i en punkt.

Ah just det, jag försöker igen med förenkling...

Ja, jag har försökt rita figur men eftersom kurvan x^2 växer så snabbt, a(x^2-8x+15) hinner inte vara promiskuösa med... alltså på pappret. På Wolfram Alfa, när man vet svaret går det jättebra.

.....

Nu funkar det tror jag! Jag fick fel första gången för jag råkade slarva på plus och minus tecken.

$x^{2} - a x^{2} + 8 a x - 15 a = 0, d e t ä r v i ö v e r e n s o m, (1 - a) x^{2} + 8 a x - 15 a = 0 A l l t d e l a s m e d (1 - a), o c h m e d P Q f o r m e \ln d e t g e r o s s : - \frac{4 a}{(1 - a)} \pm \sqrt{(- \frac{4 a}{1 - a})^{2} + \frac{15 a}{(1 - a)}} \pm \sqrt{\frac{(4 a)^{2}}{(1 - a)^{2}} + \frac{15 a (1 - a)}{(1 - a)^{2}}} \pm \sqrt{\frac{16 a^{2} + 15 a - 15 a^{2}}{(1 - a)^{2}}}$

Jag får -a^2+15a borde vara noll, om vi delar allt med a har vi a=-15 youhou!!

@Yngve: Jag har absolut NOLL idé om varför a kan inte vara lika med noll. Har det något att göra med att uttrycket i början cancels out? (alltså a(x^2-8x+15))?

Albiki skrev :
Hej Daja!
Du vill finna en punkt $(x,y) = (A,B)$ sådan att följande villkor är uppfyllda.
1. $B = A^2$ och $B = a(A-3)(A-5).$
2. Derivatorna i punkten sammanfaller: $2A = a(2A-8).$
Du har två ekvationer och två obekanta tal ( $a$ och $A$ ). Uttryck $A$ med hjälp av parametern $a$ och undersök om det finns några förbjudna parametervärden.
Albiki

Så nu hittade vi a=-15

Om jag försöker att fylla upp vilkorna som vi har blir det:

$B = A^{2} = - 15 (A - 3) (a - 5) A^{2} + 15 A^{2} - 120 A + 225 = 0 Δ = (- 120)^{2} - (4 * 225 * 16) = 0 S v a r e t b l i r A = \frac{- (- 120)}{16 * 2} = 3.75 B b l i r (3.75)^{2} = 14.0625$

Ah shit nu insåg jag att du menade att använda både ekvationer för att hitta punkten...

Albiki skrev :
Uttryck $A$ med hjälp av parametern $a$ och undersök om det finns några förbjudna parametervärden.
Albiki

Det ger mig en ekvation med $\frac{4 a}{a - 1}$ och jag går inte vidare :(

Daja skrev :

@Yngve: Jag har absolut NOLL idé om varför a kan inte vara lika med noll. Har det något att göra med att uttrycket i början cancels out? (alltså a(x^2-8x+15))?

Ja det stämmer. Om a = 0 så tangerar kurvorna varandra i origo. Men om a = 0, vilken typ av kurva är då egentligen y = a(x - 3)(x - 5)?

Yngve skrev :
Daja skrev :

@Yngve: Jag har absolut NOLL idé om varför a kan inte vara lika med noll. Har det något att göra med att uttrycket i början cancels out? (alltså a(x^2-8x+15))?
Ja det stämmer. Om a = 0 så tangerar kurvorna varandra i origo. Men om a = 0, vilken typ av kurva är då egentligen y = a(x - 3)(x - 5)?

x-axeln bara?

Daja skrev :
x-axeln bara?

Ja. Då blir y = 0, vars graf är en rät linje.

y = a(x - 3)(x - 5) är då ingen parabel, som det stod i uppgiften.

Förutsättningen att det ska vara en parabel kan matematiskt beskrivas som ett villkor att a ska vara skilt från 0.

Yngve skrev :
Daja skrev :
x-axeln bara?
Ja. Då blir y = 0, vars graf är en rät linje.
y = a(x - 3)(x - 5) är då ingen parabel, som det stod i uppgiften.
Förutsättningen att det ska vara en parabel kan matematiskt beskrivas som ett villkor att a ska vara skilt från 0.

Ska skriva exakt det nästa gång jag vill låta smart :)

Tack Yngve, som alltid!

Edit: har precis kollat själv om koordinaterna stämmer: https://www.google.se/search?q=x2%3D-15(x%5E2%E2%88%928x%2B15)&rlz=1C1GKLA_enSE660SE660&oq=x2%3D-15(x%5E2%E2%88%928x%2B15)&aqs=chrome..69i57.637j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8#q=x^2+and+y%3D-15(x^2%E2%88%928x%2B15)

Albiki skrev :
Hej Daja!
Du vill finna en punkt $(x,y) = (A,B)$ sådan att följande villkor är uppfyllda.
1. $B = A^2$ och $B = a(A-3)(A-5).$
2. Derivatorna i punkten sammanfaller: $2A = a(2A-8).$
Du har två ekvationer och två obekanta tal ( $a$ och $A$ ). Uttryck $A$ med hjälp av parametern $a$ och undersök om det finns några förbjudna parametervärden.
Albiki

Synd att jag fattade inte detta, menade du att det var en snabbare sätt att lösa?

Daja skrev :
Yngve skrev :...Förutsättningen att det ska vara en parabel kan matematiskt beskrivas som ett villkor att a ska vara skilt från 0.
Ska skriva exakt det nästa gång jag vill låta smart :)
Tack Yngve, som alltid!

Det som är lite kul här (och i många andra fall) är att den matematiska modellen ger oss alla lösningar på det "generella" problemet. Sen är det upp till oss att vaska fram endast de lösningar som är relevanta för problemformuleringen.

Daja skrev :
Albiki skrev :
Hej Daja!
Du vill finna en punkt (x,y)=(A,B) (x,y) = (A,B) sådan att följande villkor är uppfyllda.
1. B=A2B = A^2 och B=a(A-3)(A-5).B = a(A-3)(A-5).
2. Derivatorna i punkten sammanfaller: 2A=a(2A-8).2A = a(2A-8).
Du har två ekvationer och två obekanta tal ( a a och A A ). Uttryck A A med hjälp av parametern a a och undersök om det finns några förbjudna parametervärden.
Albiki
Synd att jag fattade inte detta, menade du att det var en snabbare sätt att lösa?

Det var precis den lösningsmetoden du började med (och som bl.a jag fortsatte med).

Då så!

Jag bevr förvirrad, trodde det var skilda saker...