Bestäm talet a så att kurvorna har en gemensam tangent (Matematik/Matte 3)

Har du fölht alka instruktioner i uppgiften?

Bara för att lutningarna är samma måste inte tangenten vara gemensam för båda. Kurvorna $y = x^{2}$ och $y = x^{2} + 1$ har exakt samma lutning för alla x-koordinater, trots att de inte har några gemensamma tangenter.

Yngve skrev:
Har du fölht alka instruktioner i uppgiften?

Ja men jag vet ju inte vad för figur jag ska rita så jag började algebraiskt så kanske det blir lättare att rita sen.

naytte skrev:
Bara för att lutningarna är samma måste inte tangenten vara gemensam för båda. Kurvorna $y = x^{2}$ och $y = x^{2} + 1$ har exakt samma lutning för alla x-koordinater, trots att de inte har några gemensamma tangenter.

Okej, hur ska jag då göra för att hitta deras gemensamma tangent?

Jag är inte säker själv, faktiskt. Jag klurar lika mycket på det här som du.

Men låt $f (x) = x^{2}$ och $g (x) = a x^{2} - 8 a x + 15 a$ . Den gemensamma tangenten kommer kunna skrivas på formen $y = k x + m$ , och vi vet dessutom att k-värdet motsvarar lutningen för vardera kurva i respektive tangeringspunkt. Säg att tangenten tangerar $f$ i punkten $x = b$ och $g$ i punkten $x = c$ . Då får man följande samband:

$\{\begin{cases} y = f' (b) x + m \\ y = g' (c) x + m \end{cases}$

Sedan vet vi dessutom att funktionsvärdena för tangenten och $g$ respektive $f$ kommer vara samma i tangeringspunkten:

$\{\begin{cases} f (b) = b \cdot f' (b) + m \\ g (c) = c \cdot g' (c) + m \end{cases}$

Detta kanske man kan ta sig vidare med? Som sagt funderar jag också på uppgiften, så det här kanske inte leder någonstans alls.

Ja, det här var en riktigt klurig uppgift. Satt också med den ett tag. Jag tror nu att jag lyckats få fram svaret på a.

Derivatan av de olika graferna är lika med varandra. Utifrån den ekvationen löser jag ut a som blir
a= x/(x-4)

När jag har det värdet på a så säter jag in det i ekvationen:
x^2 = ax^2 - 8ax + 15a

Då får jag fram för vilka x-värden som tangenten (enligt villkoren) är möjlig.

Därefter är det bara att lösa ut a

Hur kommer du fram till $a = \frac{x}{x - 4}$ ?

derivatan av de båda graferna är lika med varandra:

2x = 2ax-8a
x = ax -4a
x = (x - 4)a
x/(x-4)= a

Men man vet ju inte att de är lika med varandra för samma x-koordinat, endast att det ska vara lika med varandra för något par av två x-koordinater.

Låt tangenten tangera $f$ i $x = b$ och $g$ i $x = c$ . Det som då ska gälla är att $f' (b) = g' (c)$ . Visserligen får $b = c$ , men det är absolut inte säkert.

Okej, men då ska man sätta derivatan av de graferna lika med varandra som jag gjorde från början alltså?

Ja så gjorde jag. Håller dock med dig naytte om att ekvationen som jag ställde upp inte är säker. Har du, Karisma, något svar på uppgiften så att jag kan se om det jag gjorde stämde.

Jag testade att lösa uppgiften med ditt värde på a och kom fram till att det blev -15, (Om jag inte har räknat fel) men det tror jag inte för i facit står det också att svaret blir -15! Bra jobbat (:

Stod det i facit hur de kom fram till svaret? Det kanske fungerade att göra som Einstein gjorde, men jag tycker inte lösningen är generell överhuvudtaget. I lösningen har man ju gjort antagandet att lutningarna är samma i samma x-koordinat, men det måste inte vara så. Kanske finns det ett flertal värden på a som uppfyller kraven?

Det här är allt som stod i facit:

Det står i uppgiften att man får använda sig av en grafräknare, så de kanske tänker att man ska lösa den grafiskt på något sätt?

Tangenten ska vara samma för båda funktionerna, så det måste gälla att derivatan av funktionerna är samma.

Det ger ett värde på a.

Dracaena skrev:
Tangenten ska vara samma för båda funktionerna, så det måste gälla att derivatan av funktionerna är samma.

Det ger ett värde på a.

Visst gäller det för alla uppgifter där man ska hitta en gemensam tangent för två funktioner?

Dracaena skrev:
Tangenten ska vara samma för båda funktionerna, så det måste gälla att derivatan av funktionerna är samma.

Det ger ett värde på a.

Självklart. Men om man löser det så som Einstein gjorde får man väl den x-koordinat där båda är lika samtidigt, det vill säga något som inte nödvändigtvis måste vara så?

Så som frågan är ställd låter det som att tangenten ska tangera båda någonstans, inte i samma punkt.

För att en tangent ska kunna tangera f och g, om vi antar att det är deriverbara (de är de i detta fallet) måste det gälla att tangenten har samma lutning och skär y-axeln vid samma punkt.

Det blir nog tydligare om ni ritar som Yngve föreslog tidigt på. :)

naytte skrev:
Dracaena skrev:
Tangenten ska vara samma för båda funktionerna, så det måste gälla att derivatan av funktionerna är samma.

Det ger ett värde på a.

Självklart. Men om man löser det så som Einstein gjorde får man väl den x-koordinat där båda är lika samtidigt, det vill säga något som inte nödvändigtvis måste vara så?

Så som frågan är ställd låter det som att tangenten ska tangera båda någonstans, inte i samma punkt.

Jag tror de i uppgiften menar att kurvorna ska tangera i varandra, och då måste de ha samma y och x-värde i den punkten de tangerar varandra.

Dracaena skrev:
För att en tangent ska kunna tangera f och g, om vi antar att det är deriverbara (de är de i detta fallet) måste det gälla att tangenten har samma lutning och skär y-axeln vid samma punkt.

Det blir nog tydligare om ni ritar som Yngve föreslog tidigt på. :)

Det håller jag med om! Men tangenten måste väl inte skära kurvorna i samma x-koordinat? Det är ju antagandet som facit har gjort, men så måste det väl inte vara?

Dracaena skrev:
För att en tangent ska kunna tangera f och g, om vi antar att det är deriverbara (de är de i detta fallet) måste det gälla att tangenten har samma lutning och skär y-axeln vid samma punkt.

Det blir nog tydligare om ni ritar som Yngve föreslog tidigt på. :)

Men jag vet inte riktigt vad jag ska rita. Hur ska jag kunna rita ena kurvan när jag från början inte visste dess a-värde?

Är det kanske menat att man bara ska ta fram a i denna form: x/(x-4) och sedan rita upp grafen på sin grafräknare och läsa av tangeringspunkten med sitt digitala verktyg?

Tanken är att vi har två funktioner $f(x)$ och $g(x)$ .

I vanliga fall så söker vi bara tangenter för en funktion i taget. I den punkten som tangenten eftersöks så "delas" en (x,y) - koordinat och lutning.

Om vi nu söker en tangent så ska lyckas tangera f och g, måste det gälla att f och g först och främst har samma lutning i den punkten. Annars kan inte båda tangeras av samma kurva. Krav två är att de har exakt samma y-värde i denna punkt.

Punkten dessa tangeras i är $p$ , enligt facit, så att $f(p)=g(p)=y_t$ .

Tänk tillbaka till när ni räknar en vanlig tangent, funktionsvärdet är lika, inte bara lutningen.

Fråga är lite klurigt ställd, vilket är varför man ombes att rita. Facits ritning är rätt tydlig tycker jag.

Det jag trodde från början var att det är ytterligare en tangent (som är rät) och skulle skära båda kurvorna i någon punkt (så att det totalt sätt alltså skulle finnas 3 olika grafer), men nu i efterhand har jag förstått att de i uppgiften menar att kurvorna ska tangera varandra. Vilket gör det mycket tydligare nu.

Dracaena skrev:
Punkten dessa tangeras i är $p$ , enligt facit, så att $f(p)=g(p)=y_t$ .

Tänk tillbaka till när ni räknar en vanlig tangent, funktionsvärdet är lika, inte bara lutningen.

Det är just det här jag har problem med i facits lösning. Vad är det egentligen som säger att $f (p) = g (p) = y_{t}$ ?

Det som uppgiften säger är att tangenten ska delas av båda kurvorna. Då måste följande gälla:

$f (b) = b f' (b) + m g (c) = c g' (c) + m$

Det finns inget krav som säger att kurvorna måste skära varandra någonstans.

karisma skrev:

Ja men jag vet ju inte vad för figur jag ska rita så jag började algebraiskt så kanske det blir lättare att rita sen.

Att skissa y = x² borde inte vara något problem?

Och du vet att y = a(x-3)(x-5) är en parabel med kända nollställen x = 3 och x = 5.

För att det ska finnas en gemensam tangent så måste a vara negativ ("sad face") och lagom stor så att graferna tangerar varandra i en punkt.

Det blir ganska likt bilden i facit, bara baserat på det som står I uppgiften.

Det är bra att träna på att skissa grafer

Yngve skrev:
karisma skrev:

Ja men jag vet ju inte vad för figur jag ska rita så jag började algebraiskt så kanske det blir lättare att rita sen.

Att skissa y = x² borde inte vara något problem?

Jo det kan jag men det var den andra grafen som jag tyckte var lite svår att skissa.

Och du vet att y = a(x-3)(x-5) är en parabel med kända nollställen x = 3 och x = 5.

För att det ska finnas en gemensam tangent så måste a vara negativ ("sad face") och lagom stor så att graferna tangerar varandra i en punkt.

Hur ska jag från början veta att a är negativt?

Det blir ganska likt bilden i facit, bara baserat på det som står I uppgiften.

Det är bra att träna på att skissa grafer

@Naytte, Varför tycker du inte att de ska skära varandra?

Tangenten för ex. $x^3$ i punkten (1,1) kommer ju alltid dela punkten (1,1) med kurvan, det är ju här den har samma lutning.

Att de kommer tangera varandra betyder i princip att de kommer att ha en gemensam punkt på kurvan som har samma lutning.

Låt oss anta att vi istället skulle hitta tangenten för $f(x)=x^3$ i punkten (1, 1).

Vi kallat tangenten $y_t=kx+m$ , där vi noterar att $k=f'(1)$ , vilket i detta fallet är 3.

Vi har nu att $y_t=3x+m$ , m-värdet kan vi ta fram då tangenten delar punkten (1, 1) på kurvan, så att:

$1=3+m$ , detta ger att $m=-2$ .

Här är graferna: https://www.desmos.com/calculator/keqrhqmxmk

Inga konstigheter alls. Nu har vi istället att $f(x)=x^2$ och $g(x)=a(x-3)(x-5)$ .

Om de ska dela en tangent så ska de tangera varandra. Återigen måste det då gälla att:

$f'(p)=g'(p)$ , där $p$ är x-koordinaten de tangerar varandra. Vidare måste det gälla att $f(p)=g(p)$ .

Nu kan $a$ beräknas.

Istället för att vi har en punkt (1, 1) som i första exemplet, så har vi nu en punkt (p, f(p)).

Hänger ni med?

Jo jag förstår och har noterat att f(x) = g(x) och f’(x) = g’(x) gäller för alla funktioner som tangerar varandra eller delar samma tangent? Isåfall har jag lärt mig nått nytt och användbart, för tidigare visste jag bara att f’(x) = g’(x) gällde men inte f(x) = g(x).

karisma skrev:
För att det ska finnas en gemensam tangent så måste a vara negativ ("sad face") och lagom stor så att graferna tangerar varandra i en punkt.

Hur ska jag från början veta att a är negativt?

Pröva att rita en smilie face som går genom nollställena. Den kommer då att skära den andra parabeln på max två ställen, men det kommer inte att gå att få till samma lutning I någon av skärningspunkterna.

Det blir ganska likt bilden i facit, bara baserat på det som står I uppgiften.

Det är bra att träna på att skissa grafer

@Dracaena

Uppgiften säger att kurvorna ska dela en tangent, alltså att en tangent ska tangerna båda kurvorna någonstans. Låt $y_{t}$ tangera $f$ i punkten $x = b$ och $g$ i punkten $x = c$ . Då finns det fyra kriterier som måste uppfyllas:

$\{\begin{cases} y_{t} = x f' (b) + m \\ y_{t} = x g' (c) + m \end{cases}$ och $\{\begin{cases} f (b) = b \cdot f' (b) + m \\ g (c) = c \cdot g' (c) + m \end{cases}$

Det finns ingenting som säger att $f$ och $g$ måste tangera varandra, endast att tangenten ska tangera båda kurvorna någonstans på vardera kurva. Ett exempel på det jag menar:

Ta kurvorna $y_{1} = x^{3}$ och $y_{2} = - {(x - 3)}^{2} - 16$ . Linjen $y_{t} = 12 x - 16$ är en tangent till båda kurvorna, fast vid olika x-koordinater. Den tangerar $y_{1}$ vid $x = 2$ , och den tangerar $y_{2}$ vid $x = - 3$ .

Det som de har gjort i facit är att de har antagit att kurvorna ska dela en tangeringspunkt, men så måste det inte vara, och det var inte så frågan var formulerad.

Det är inte säkert att du kan anpassa $a$ så att du har två kurvor som tangeras på det sättet du föreslår. Jag har inte undersökt. Men i vilket fall som så är det ju betydligt jobbigare att göra en sådan anpassning än att tvinga f och g att tangera varandra. :)

Jag uppfattade dig som att du menade att det inte ska skära varandra eftersom det är tangenter.

Facit bestämmer sig för att låta f och g tangera varandra, medan du i inlägget ovan (inte kollat om det stämmer, men om jag utgår ifrån din beskrivning) så har du en tangent som nu tangerar två kurvor vid två olika x-värden.

Jag tror att om du hade motiverat vad det är du räknat så ser jag inte varför du skulle ha fått något avdrag. Man kan ju tolka uppgiften på bägge sätt.

Det är inte säkert att du kan anpassa $a$ så att du har två kurvor som tangeras på det sättet du föreslår.

Nej, kanske inte. Men det jag tyckte att uppgiften gjorde fel var att de antog att kurvorna skulle skära varandra. Det är då inte generellt längre, utan man undersöker ett specialfall. Visserligen får man ju fram ett $a$ som uppfyller kraven, men det är mer tur än något annat då.

"Tur" är kanske att ta i lite. Jag skulle snarare säga att det handlar mer om att arbeta smart än att jobba hårt. Uppgiften är designad för att lösas på ett specifikt sätt. Antag att det är möjligt att anpassa $a$ på det sätt du föreslår, då finns det två olika metoder att genomföra det på. Som jag tidigare nämnde, är jag övertygad om att ingen lärare skulle ha dragit av poäng om du hade lyckats få en tangent att tangera två kurvor på det viset. Dock är det onödigt komplicerat.

Vissa frågor är medvetet något otydliga för att se hur eleven tolkar och resonerar. Vissa uppgifter kan lösas på många olika sätt, vilket är en del av uppgiften - att lösa problemet på ett specifikt sätt och motivera varför man valt just den metoden.