Bestäm talet a så att f(f(x))=x

Du vet att $f\left(x\right) = \frac{ax}{2x+3}$. Du vill beräkna f(f(x) (och så småningom göranågot med det uttrycket). Du skall alltså sätta in f(x) på varje ställe det står x i f(x). Det blir$f\left(f\right(x) = \frac{a · f\left(x\right)}{2 · f\left(x\right) - 3} = \frac{a\left(\frac{ax}{2x+3}\right)}{2\left(\frac{ax}{2x+3}\right)-3}$. Fortsätt själv!

Det känns inte alls som att jag är rätt ute, men jag har börjat med att se täljaren för sig och nämnaren för sig och multiplicera in a i täljaren och 2 i nämnaren.

Visst ska det vara +3 sedan i nämnaren?

Det stod så i uppgiften, att f(x)=$\frac{ax}{2x+3}$

Ja, jag har skrivit fel tecken i nämnaren på två ställen.

När du sätter ihop täljare och nämnare kan du förkorta bort "täljar-nämnaren" och "nämnar-nämnaren" eftersom båda är 2x+3, så du blir av med dubbelbråket.

Nu har jag försökt att fortsätta på egen hand. 

Men hur kommer jag vidare nu?

(Jag har tagit reda på att a ska vara -3)

Sista ekvationen ser inte helt rätt ut, du har slarvat bort ett x

$a^2 = 2ax + 6x + 9$

Detta ger alltså att

$a^2 =(2a + 6)x + 9$

Likheten ska gälla för alla x. Eftersom VL är konstant, så måste också HL vara konstant, så då är du tvungen till att välja $2a + 6 = 0$. Vad får du för $a$ och gäller då likheten för alla x?

Du kunde också sett att

(a^2*x) / (2ax+6x+9)  =  x

ger

(a^2*x)  = x * (2ax+6x+9)

1) Du måste ha lika många x^2 i vänsterledet som i högerledet.
2) Du måste ha lika många x i vänsterledet som i högerledet.

Du har alltså två krav, men bara en enda variabel: a. Då brukar problemen inte ha någon lösning. Har detta problem någon lösning?

Stokastisk skrev :

Sista ekvationen ser inte helt rätt ut, du har slarvat bort ett x

$a^2 = 2ax + 6x + 9$

Detta ger alltså att

$a^2 =(2a + 6)x + 9$

Likheten ska gälla för alla x. Eftersom VL är konstant, så måste också HL vara konstant, så då är du tvungen till att välja $2a + 6 = 0$. Vad får du för $a$ och gäller då likheten för alla x?

Ja, det var ett slarvfel, det skulle stå 6x.

Sedan bröt du ut x i högerledet. Det skulle jag inte kommit på att göra utan din hjälp och jag är ännu inte helt insatt i hur det kommer sig att man kan göra så. Jag bara lär mig att det är så, så länge.

(2a + 6) = 0  Då ser jag att a är (-3) eftersom 2*(-3)=-6   

Jag testar med två olika x-värden i ekvationen, och satte a till -3

Ekvationen:  a^2=2ax+6x+9

Om x är 2 och a är (-3): 

9=2*(-3)*2+6*2+9

9=(-6*2)+12+9

9=-12+12+9

9=9

Om x är 3 och a är (-3): 

9=2*(-3)*3+6*3+9

9=(-6*3)+18+9

9=-18+18+9

9=9

Så för dessa båda x-värden gäller likheten. Hur kan jag bevisa att den gäller för alla x?

Ett alternativt sätt är att använda den inversa funktionen: https://sv.wikipedia.org/wiki/Invers_funktion

Om $f(x)$ är sin egen invers gäller att:

$f(f(x)) = f^{-1}(f(x)) = x$

Bestäm inversen:

$x = \frac{ay}{2y+3}$

$(2y+3)x = ay$

$y(2x-a) = -3x$

$y = -\frac{3x}{2x-a} = f^{-1}(x) = f(x) = \frac{ax}{2x+3}$

För att likhet ska gälla fås att $a = -3$.

Grejen är när du har fått att a = -3 då har du ju att

$(-3)^2 = 2*(-3)x + 6 + 9$

$9 = -6x + 6x + 9$

$9 = 9$

Så detta är ju definitivt sant för alla x.

Anledningen till varför man bryter ur x:et är för att man vill se vilken koefficienten är framför den, eftersom koefficienten framför x:et måste vara noll för att uttrycket ska bli konstant.