Bestäm talet a.

Natascha skrev:

Hej. 
Jag behöver hjälp med en uppgift som jag själv hittat efter lite internetsök och den lyder: Visa att $a=\sqrt{e}$ i funktionen  $f\left(x\right)=a^x$ där $f\text{'}\left(0\right) = 0,5$. 

Jag började med att derivera $f\left(x\right)=a^x$som jag fick till: $f\text{'}\left(x\right)={\left(e^{\ln \left(a\right)}\right)}^x = e^{\ln \left(a\right)x} =\ln \left(a\right)e^{\ln \left(a\right)x}$. Kan jag stryka bort $e^{\ln }$ i och med att det är varandras inverser? Så att deriveringen av funktionen blir: $\ln a^{\ln \left(a\right)x}$? 

Nej det stämmer inte riktigt.

$f(x)=a^x=(e^{ln(a)})^x=e^{ln(a)\cdot x}$

Eftersom derivatan av $e^{kx}$ är $k\cdot e^{kx}$ så är

$f'(x)=ln(a)\cdot e^{ln(a)\cdot x}=$

$=ln(a)\cdot (e^{ln(a)})^x=ln(a)\cdot a^x$

Hej Yngve. Jag löste uppgiften samma dag men tänkte springa in här och posta min lösning. 

Funktionen $f\left(x\right)=a^x$ har derivatan $f\text{'}\left(x\right)=a^x · \ln \left(a\right)$

M.h.a derivatan för funktionen ersätter jag nu min kända punkt $f\text{'}\left(0\right) = 0,5$ i funktionens derivata och får: $0,5 = a^0 · \ln \left(a\right)$ $\to$ $0,5 = 1· \ln \left(a\right)$ $\to$ $0,5 = \ln \left(a\right)$.

Jag tillämpar lagen: $e^x = b \leftrightarrow x = \ln \left(b\right)$ och ser att jag får basen $e$ med $0,5$ i exponenten som är lika med $a$. Alltså $e^{0,5} = a \leftrightarrow \sqrt{e} = a$ 

Natascha skrev:

Hej Yngve. Jag löste uppgiften samma dag men tänkte springa in här och posta min lösning. 

Funktionen $f\left(x\right)=a^x$ har derivatan $f\text{'}\left(x\right)=a^x · \ln \left(a\right)$

M.h.a derivatan för funktionen ersätter jag nu min kända punkt $f\text{'}\left(0\right) = 0,5$ i funktionens derivata och får: $0,5 = a^0 · \ln \left(a\right)$ $\to$ $0,5 = 1· \ln \left(a\right)$ $\to$ $0,5 = \ln \left(a\right)$.

Jag tillämpar lagen: $e^x = b \leftrightarrow x = \ln \left(b\right)$ och ser att jag får basen $e$ med $0,5$ i exponenten som är lika med $a$. Alltså $e^{0,5} = a \leftrightarrow \sqrt{e} = a$ 

Rätt. Bra!