Bestäm talet

5/12 - 2/3

Hur menar du?

Du har räknat fel på argumenten vid divisionen

Där har du argumentet för $u·z=\frac{5\mathrm{\pi }}{12} helt korrekt$

Och argumentet för $w^2=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}, också rätt$

Men du räknar fel för kvotens argument - du ska beräkna $\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

Okej, menar du sista raden på a? Och hur ska jag räkna den då om inte genom att göra om till samma nämnare och sen subtraherar?

Läs svaren en gång till.

Yes ser de, men hur gör jag det utan att skriva om till samma nämnare?

Du kan väl skriva om till samma nämnare om du vill. Det blir nog bra.

Henning skrev:

Du har räknat fel på argumenten vid divisionen

Där har du argumentet för $u·z=\frac{5\mathrm{\pi }}{12} helt korrekt$

Och argumentet för $w^2=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}, också rätt$

Men du räknar fel för kvotens argument - du ska beräkna $\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

Du beräknar enklast uttrycket genom att göra om till samma nämnare
Dvs $\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{4·2\mathrm{\pi }}{4·3}=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{8\mathrm{\pi }}{12}=-\frac{3\mathrm{\pi }}{12}$

Okej nu förstår jag. Så det blir alltså 0,75(cos-3pi/12 +isin-3pi/12)? Och vad betyder intervallet som står i frågan?

Julialarsson321 skrev:

Okej nu förstår jag. Så det blir alltså 0,75(cos-3pi/12 +isin-3pi/12)?

Ja, vi tänkte nog att du skulle hitta teckenfelet direkt.

Och vad betyder intervallet som står i frågan?

"Mellan noll och ett helt varv".

(Skall man vara petig tycker jag att intervallet är dåligt definierat. Det innehåller både "noll" och "exakt ett varv" men borde bara innehålla ett av dem.)

Okej så hur fortsätter jag nu? Jag menar med intervallet

Ligger vinkeln -3pi/12 inom det intervallet?

Om den inte gör det, måste du hitta en vinkel inom intervallet som har samma värden på sin och cos. (Dvs. lägga till eller dra ifrån ett eller två eller flera varv)

Hur kollar jag om det ligger i det intervallet?

Frågan är alltså om -3pi/12 är

• större än noll?
• mindre än 2pi?

Det är ju minus så det är mindre än noll?

Just det.

Om du inte ser direkt vad svaret blir, kan det underlätta att rita en enhetscirkel.

Skulle du kunna visa hur man hittar det i enhetscirkeln? Har så svårt att förstå hur man ska använda den rätt! 

Henning skrev:

Henning skrev:

Du har räknat fel på argumenten vid divisionen

Där har du argumentet för $u·z=\frac{5\mathrm{\pi }}{12} helt korrekt$

Och argumentet för $w^2=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}, också rätt$

Men du räknar fel för kvotens argument - du ska beräkna $\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

Du beräknar enklast uttrycket genom att göra om till samma nämnare
Dvs $\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{4·2\mathrm{\pi }}{4·3}=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}-\frac{8\mathrm{\pi }}{12}=-\frac{3\mathrm{\pi }}{12}$

Jag ser nu att man kan förenkla bråket för argumentet (vinkeln) till $-\frac{\mathrm{\pi }}{4}, vilket motsvarar -45°$

Eftersom man vill ha ett svar där vinkeln ligger mellan 0 och ett helt varv , $0⩽arg .. ⩽2\mathrm{\pi }$
så kan vi addera ett helt varv till vårt argument för att få det inom önskat intervall

Dvs vi får $-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi }=\frac{7\mathrm{\pi }}{4} \mathrm{vilket} \mathrm{motsvarar} 315°$

Se lite teori om enhetscirkeln Enhetscirkeln

Okej nu förstår jag! Men r är fortfarande 0,75?

Javisst - men jag föredrar bråkformen, dvs $\frac{3}{4}$

Är b också rätt?

Det är rätt om man accepterar ungefärliga värden
Men man vill ha exakta värden på realdel och imaginärdel

Det komplexa talet som du kommit fram till som resultat har ju beloppet, r=3/4 och argumentet $\frac{7\mathrm{\pi }}{4}$

Om du ritar upp detta tal i komplexa talplanet kommer det att ha riktningen -45 grader utgående från origo.
Dvs realdel och imaginärdel utgör en $45°,45°, 90°-triangel$

För denna typ av triangel gäller att $\sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}} samt \cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$(ja, det gäller förstås allmänt för dessa vinklar)

Detta medför att realdel för det sökta talet blir (exakt) :$\frac{3}{4}/\sqrt{2}=\frac{3}{4·\sqrt{2}}$
och imaginärdelen får samma längd men negativt tecken som du har angett.

Nu har du svaret på formen a+bi och exakt uttryckt

Ska jag behålla r som 3/4 då? Alltså 3/4(cos3/4rotenur2+isin3/4rotenur2)?

Ja, det tycker jag är snyggast
Men framför allt får du inte ta ett närmevärde för $\sqrt{2}$

Vad visar facit ?

Jag förstår dock inte hur jag ska rita talet i det komplexa takplanet, kan du visa det?

Jag förstår inte alls hur jag ska räkna nu

Här kommer en bild

Okej, så jag ska inte multiplicera in r i ekvationen?

Hur menar du ?

r är talet v-s belopp (längd) och är = $\frac{3}{4}$
Dvs längden av hypotenusan i den rätvinkliga triangeln i figuren

Re v och Im v är kateterna i denna triangel och fås genom att dividera r med $\sqrt{2}$

Jag har lärt mig att Re=rcosv och Im= rsinv

alltså att man tar 3/4cos3/4roten ur 2 för Re och 3/4sin3/4roten ur 2 för Im. Är de samma? 

Nja - vinkeln v är i detta fall $-45° eller 315°$
Men eftersom man vill ha exakt svar så kan du enklast betrakta den rätvinkliga triangeln i min figur och se eller erfara sinv respektive cosv för just vinkeln $45° är exakt \frac{1}{\sqrt{2}}$

Alltså såhär? Och då är den klar?!

Helt rätt - Grattis till att du klarade denna knepiga uppgift