Bestäm talen k och p

Du har fel uttryck för klotets area.

tyvärr jag kommer inte vidare. 

Början är bra, men sen förkortar du med faktorer som inte finns.

Ta ett steg i taget, börja med att skriva om faktorn $V^p$ med hjälp av potenslagarna:

$V^p=(\frac{4\pi r^3}{3})^p=\frac{(4\pi r^3)^p}{3^p}=\frac{4^p{\pi}^p(r^3)^p}{3^p}=\frac{4^p{\pi}^pr^{3p}}{3^p}$

Kommer du vidare därifrån?

Tyvärr 

vad är det jag inte har lyckats att förstå? 

Men var du med på det jag skrev?

M4t3m4t1k skrev:

vad är det jag inte har lyckats att förstå? 

Du verkar ha ersatt $r^23^p$ med $3\cdot r^{2p}$, men det stämmer inte.

Låt det stå som det gör. 

Nästa steg är att förkorta bort gemensamma faktorer och sedan jämföra VL med HL.

Jag hänger med på att V^p.

P ska ju multipliceras in enligt (a^x) ^y= a^xy

Hur går man vidare? 

M4t3m4t1k skrev:

Hur går man vidare? 

Nästa steg är att förkorta bort gemensamma faktorer och sedan jämföra VL med HL.

Ursäkta, men det var på den frågan som jag undrade hur man ska gå vidare.

Hur förkortar jag båda sidorna.

Du har

$4\pi\cdot 3^p\cdot r^2=k\cdot4^p\cdot\pi^p\cdot r^{3p}$, där allt utom $r$ är konstanter.

Om vi kallar $4\pi\cdot 3^p$ för $A$ och $k\cdot4^p\cdot\pi^p$ för $B$ så kan likheten skrivas $A\cdot r^2=B\cdot r^{3p}$.

Denna likhet ska gälla oavsett vilket värde $r$ har. Det betyder att följande måste gälla:

• $A=B$, dvs $4\pi\cdot 3^p=k\cdot4^p\cdot\pi^p$
• $r^2=r^{3p}$

Den första ekvationen kan skrivas $k=\frac{4\pi\cdot 3^p}{4^p\cdot\pi^p}$, dvs $k=4^{1-p}\cdot3^p\cdot\pi^{1-p}$.

Den andra ekvationen ger att

$2=3p$.

Lös ut $p$ och sätt in i första ekvationen.

Jag måste tänka lite på saken.

Arean och volymen beror ju bara på radien. Så om r  ändras då ändras allt.

Och då är ju allt annat konstanter. 

Sen så gör du en "konstant ekvation och en radie ekvation. Får man göra så? Enligt vilket kapitel 🙂

A=k*V^p tyder väl på att det är en exponential funktion.

Vad har k och p för betydelse på funktionen, eller vilken betydelse har de på arean och volymen?

Är det som k och m i en linjär funktion? 

Vad är likheten mellan y=C*a^x och y=kx+m? 

M4t3m4t1k skrev:

Arean och volymen beror ju bara på radien. Så om r  ändras då ändras allt.

Och då är ju allt annat konstanter. 

Det stämmer.

Sen så gör du en "konstant ekvation och en radie ekvation. Får man göra så? Enligt vilket kapitel 🙂

Jag tror inte att det uttryckligen står i en bok, men jag kan förtydliga med ett enklare exempel.

Vi tittar på ekvationen $A\cdot x^2=B\cdot x^p$, där $x$ är en variabel och där $A$, $B$ och $p$ är konstanter.

Vi tar nu reda på vad som måste gälla för konstanterna $A$, $B$ och $p$ för att ekvationen ska vara uppfylld.

Ekvationen kan skrivas $\frac{x^2}{x^p}=\frac{B}{A}$, dvs $x^{2-p}=\frac{B}{A}$.

I vänsterledet står ett uttryck som dels beror av variabeln $x$, dels av konstanten $p$.

I högerledet är värdet konstant.

För att ekvationen ska vara uppfylld så måste även vänsterledet alltid anta ett konstant värde, oavsett vilket värde $x$ har.

Det enda sättet vi kan uppnå det är om exponenten är lika med $0$, vilket då gör att vänsterledet får värdet $1$.

Det kräver alltså dels att $p=2$ (motsvarar "radieekvationen"), dels att $A=B$ (motsvarar "konstantekvationen").

Det är precis samma sak med din ekvation, förutom att din är krångligare.

Ett annat sätt att se det är att titta på två funktionsgrafer $y=A\cdot x^2$ och $y=B\cdot x^p$. Om motsvarande funktioner ska vara lika så måste funktionsgraferna sammanfalla i alla punkter, vilket kräver både att $p=2$ och att $A=B$.

A=k*V^p tyder väl på att det är en exponential funktion.

Nej exponentialfunktion är det när den oberoende variabeln (i det här fallet $r$) står i exponenten, typ $K\cdot a^r$.

Här har vi istället $r$ i basen och det kallas då för en potensfunktion.

Vad har k och p för betydelse på funktionen, eller vilken betydelse har de på arean och volymen?

Ingen. Detta är en konstruerad uppgift med syfte att ge elever träning på krångliga algebraiska uttryck och potenslagar.

Är det som k och m i en linjär funktion? 

Nej

Vad är likheten mellan y=C*a^x och y=kx+m? 

Jag förstår inte riktigt din fråga. Det första är ett exponentiellt samband mellan x och y, det andra är ett linjärt samband mellan x och y.

Jag var tvungen och tänka igenom detta och förstå uppgiften ordentligt. 🙂

Men jag tror att den sitter i minnet nu. 

Bifogar bild på vad du svarade mig, men det är bara för att redovisa att jag har tänkt på uppgiften. 

Tack för hjälpen! 

Det ser bra ut.

Du har kommit fram till att $p$ måste vara lika med $\frac{2}{3}$ och att $k$ måste vara lika med $4^{1-p}\cdot\pi^{1-p}\cdot3^p$.

Ersätt nu $p$ med $\frac{2}{3}$ i uttrycket för $k$ så får du ett uttryck för $k$.

Snyggt!

Se till att svara med det exakta uttrycket (dvs det med tredjeroten) och inte det avrundade värdet.