Bestäm största värdet på funktion

y' är rätt. Se om du kan faktorisera uttrycket!

$e^{-px}*e^{-px}=e^{-2px}$

Okej, om jag faktoriserar och sätter $y\text{'}=0$ får jag exempelvis:

$Cp{e}^{-px}(2e^{-px}-1)=0$

Då är antingen uttrycket $Cp{e}^{-px}$ eller $2e^{-px}-1$  =0.

För att $2e^{-px}-1$ ska vara = 0 måste $e^{-px}\hspace{0.17em}= \frac{1}{2}$ och det ger $px =\hspace{0.17em}\ln 2$

Men härifrån vet jag inte hur jag ska fortsätta. Jag inser att jag kan sätta in  $e^{-px} = \frac{1}{2}$ i det andra uttrycket om det första villkoret gäller men det hjälper mig inte att komma fram till något svar.

beep skrev:

Okej, om jag faktoriserar och sätter $y\text{'}=0$ får jag exempelvis:

$Cp{e}^{-px}(2e^{-px}-1)=0$

Då är antingen uttrycket $Cp{e}^{-px}$ eller $2e^{-px}-1$  =0.

För att $2e^{-px}-1$ ska vara = 0 måste $e^{-px}\hspace{0.17em}= \frac{1}{2}$ och det ger $px =\hspace{0.17em}\ln 2$

Men härifrån vet jag inte hur jag ska fortsätta. Jag inser att jag kan sätta in  $e^{-px} = \frac{1}{2}$ i det andra uttrycket om det första villkoret gäller men det hjälper mig inte att komma fram till något svar.

 Du har kommit fram till att $x=\frac{ln(2)}{p}$ är en stationär punkt.

Nästa steg är att avgöra om detta är en min- max- eller terrasspunkt. Vet du hur du ska göra det?

Om det är en maxpunkt så ger den det största värdet (varför?).

Annars måste du kontrollera vad som händer då x närmar sig intervallets ändpunkter, dvs då x går mot 0 och då x går mot oändligheten.

Det går också att kvadratkomplettera och skriva på formen:

$y = A-C(e^{-px}-b)^2$

Använder andraderivatan för att ta reda på om det är min- max- eller terasspunkt men stöter på ytterligare problem:

$y\text{'}\text{'}=C{p}^2{e}^{-px}-4C{p}^2{e}^{-2px}$

Kan då antingen sätta $e^{-px} = \frac{1}{2}$ eller sätta in $x= \frac{\ln 2}{p}$ för att förenkla och få:

$y\text{'}\text{'}=\hspace{0.17em}\frac{1}{2} \times C{p}^2 - 4C{p}^2 \times \frac{1}{4} = \frac{C{p}^2}{2} - C{p}^2$

För att det ska vara en maxpunkt måste alltså $y\text{'}\text{'}$ vara negativ, eller möjligtvis 0 i så fall och tecken studeras.

I termen $C{p}^2$ måste ${p^2}^{}$vara positivt. Om C är positiv blir $y\text{'}\text{'} < 0$ och då har vi alltså en maxpunkt. Är det en maxpunkt är det också maxvärdet då funktionen inte kan ha flera max- min- eller terassapunkter. 

Om vi sätter in $e^{-px }=\frac{1}{2}$ originalfunktionen får vi $y=C (e^{-px} - e^{-2px}) = C (\frac{1}{2} - {\left(\frac{1}{2}\right)}^2) = \frac{1}{4}C$  vilket också stämmer med svaret i facit. Men beror inte detta på att C är positivt som jag skrev innan? Tack för all hjälp jag fått.

beep skrev:

 

Använder andraderivatan för att ta reda på om det är min- max- eller terasspunkt men stöter på ytterligare problem:

$y\text{'}\text{'}=C{p}^2{e}^{-px}-4C{p}^2{e}^{-2px}$

Kan då antingen sätta $e^{-px} = \frac{1}{2}$ eller sätta in $x= \frac{\ln 2}{p}$ för att förenkla och få:

$y\text{'}\text{'}=\hspace{0.17em}\frac{1}{2} \times C{p}^2 - 4C{p}^2 \times \frac{1}{4} = \frac{C{p}^2}{2} - C{p}^2$

För att det ska vara en maxpunkt måste alltså $y\text{'}\text{'}$ vara negativ, eller möjligtvis 0 i så fall och tecken studeras.

I termen $C{p}^2$ måste ${p^2}^{}$vara positivt. Om C är positiv blir $y\text{'}\text{'} < 0$ och då har vi alltså en maxpunkt. Är det en maxpunkt är det också maxvärdet då funktionen inte kan ha flera max- min- eller terassapunkter. 

Om vi sätter in $e^{-px }=\frac{1}{2}$ originalfunktionen får vi $y=C (e^{-px} - e^{-2px}) = C (\frac{1}{2} - {\left(\frac{1}{2}\right)}^2) = \frac{1}{4}C$  vilket också stämmer med svaret i facit. Men beror inte detta på att C är positivt som jag skrev innan? Tack för all hjälp jag fått.

 Det stämmer.

$y''(\frac{ln(2)}{p})=\frac{Cp^2}{2}-Cp^2=-\frac{Cp^2}{2}$

Detta innebär att det är en maxpunkt om $C>0$ och en minpunkt om $C<0$.

Om $C=0$ (eller om $p=0$) så är funktionen $y=0$, vilket då blir det största värdet.

Om $C<0$ så saknar funktionen största värde.

Står det något om konstanterna $C$ och $p$ i uppgiftslydelsen?

beep skrev:

 

Använder andraderivatan för att ta reda på om det är min- max- eller terasspunkt men stöter på ytterligare problem:

$y\text{'}\text{'}=C{p}^2{e}^{-px}-4C{p}^2{e}^{-2px}$

Kan då antingen sätta $e^{-px}=\frac{1}{2}$ eller sätta in $x=\frac{\ln 2}{p}$ för att förenkla och få:

$y\text{'}\text{'}=\hspace{0.17em}\frac{1}{2}\times C{p}^2-4C{p}^2\times \frac{1}{4}=\frac{C{p}^2}{2}-C{p}^2$

För att det ska vara en maxpunkt måste alltså $y\text{'}\text{'}$ vara negativ, eller möjligtvis 0 i så fall och tecken studeras.

I termen $C{p}^2$ måste ${p^2}^{}$vara positivt. Om C är positiv blir $y\text{'}\text{'}<0$ och då har vi alltså en maxpunkt. Är det en maxpunkt är det också maxvärdet då funktionen inte kan ha flera max- min- eller terassapunkter. 

Om vi sätter in $e^{-px}=\frac{1}{2}$ originalfunktionen får vi $y=C(e^{-px}-e^{-2px})=C(\frac{1}{2}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2)=\frac{1}{4}C$  vilket också stämmer med svaret i facit. Men beror inte detta på att C är positivt som jag skrev innan? Tack för all hjälp jag fått.

Behöver man jobba med andra-derivatan?

$$\begin{gathered} y=f\left(x\right) \\ f\left(0\right)=0 \\ f(\infty )=... \end{gathered}$$

Åsså finns det en max/min-punkt

Affe Jkpg skrev:

Behöver man jobba med andra-derivatan?

$$\begin{gathered} y=f\left(x\right) \\ f\left(0\right)=0 \\ f(\infty )=... \end{gathered}$$

Åsså finns det en max/min-punkt

Ja på något sätt måste man ta reda på vilken karaktär den stationära punkten har.

Om det är en maxpunkt så antas största värdet i den punkten, men om det är en minpunkt eller en terrasspunkt så saknas största värde.

(x = 0 ingår inte i det angivna intervallet)

tomast80 skrev:

Det går också att kvadratkomplettera och skriva på formen:

$y = A-C(e^{-px}-b)^2$

 Detta är den mest eleganta metoden; man behöver inte derivera och finna nollställen och bestämma lokala extrempunkter och studera vad som händer med $y$ när $x\to 0$ och när $x\to \infty$.

Kvadratkompletteringen ger direkt att funktionens största värde $C/4$ antas när $x$ löser ekvationen $e^{-px}-0,5 = 0$.

Albiki skrev:

tomast80 skrev:

Det går också att kvadratkomplettera och skriva på formen:

$y = A-C(e^{-px}-b)^2$

 Detta är den mest eleganta metoden; man behöver inte derivera och finna nollställen och bestämma lokala extrempunkter och studera vad som händer med $y$ när $x\to 0$ och när $x\to \infty$.

Kvadratkompletteringen ger direkt att funktionens största värde $C/4$ antas när $x$ löser ekvationen $e^{-px}-0,5 = 0$.

Det gäller endast då $C\geq 0$.

Om $C<>$ så fås istället funktionens minsta värde där.

Yngve skrev:

Affe Jkpg skrev:

Behöver man jobba med andra-derivatan?

$$\begin{gathered} y=f\left(x\right) \\ f\left(0\right)=0 \\ f(\infty )=... \end{gathered}$$

Åsså finns det en max/min-punkt

Ja på något sätt måste man ta reda på vilken karaktär den stationära punkten har.

Om det är en maxpunkt så antas största värdet i den punkten, men om det är en minpunkt eller en terrasspunkt så saknas största värde.

(x = 0 ingår inte i det angivna intervallet)

 För terasspunkt krävs väl dubbla nollställen?

(x = nästan 0 ingår i det angivna intervallet)

Yngve skrev:

 Det stämmer.

$y''(\frac{ln(2)}{p})=\frac{Cp^2}{2}-Cp^2=-\frac{Cp^2}{2}$

Detta innebär att det är en maxpunkt om $C>0$ och en minpunkt om $C<0$.

Om $C=0$ (eller om $p=0$) så är funktionen $y=0$, vilket då blir det största värdet.

Om $C<0$ så saknar funktionen största värde.

Står det något om konstanterna $C$ och $p$ i uppgiftslydelsen?

Känner att jag har förstått den rätt bra nu!

Det stod inget om konstanterna C eller p utan uppgiftslydelsen var precis som jag skrev i mitt första inlägg.

Affe Jkpg skrev:

 För terasspunkt krävs väl dubbla nollställen?

(x = nästan 0 ingår i det angivna intervallet)

Jag skrev inte att det är en terrasspunkt, jag skrev att om det är en terrasspunkt så finns inget största värde.

Yngve skrev:

Affe Jkpg skrev:

 För terasspunkt krävs väl dubbla nollställen?

(x = nästan 0 ingår i det angivna intervallet)

Jag skrev inte att det är en terrasspunkt, jag skrev att om det är en terrasspunkt så finns inget största värde.

Behöver man då jobba med andra-derivatan?

$$\begin{gathered} y=f\left(x\right) \\ \underset{x\to 0}{\lim } f\left(x\right)=0 \\ f\left(\frac{\ln 2}{p}\right)=\frac{1}{4}C \\ \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0 \end{gathered}$$

Affe Jkpg skrev:

Behöver man då jobba med andra-derivatan?

$$\begin{gathered} y=f\left(x\right) \\ \underset{x\to 0}{\lim } f\left(x\right)=0 \\ f\left(\frac{\ln 2}{p}\right)=\frac{1}{4}C \\ \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0 \end{gathered}$$

Jag har inte sagt att man måste jobba med andraderivatan, jag har försökt hjälpa TS framåt på den väg hen har valt att lösa problemet.