Bestäm största värdet för f

Hej!

Jag har svårt för mig lösa uppgifter där det största värdet ska hittas och behöver hjälp hur jag ska gå till väga när jag löser dessa uppgifter.

Frågan lyder:

Vad jag har läst så ska man först undersöka de inre stationära punkterna sedan de singulära punkterna och till sist randen som uppfyller Lagrange-villkoret.

Steg 1: Undersöka stationära punkter

$f_{x} = \frac{- x y^{3}}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} = 0 f_{y} = \frac{3 y^{2} - 3 y^{2} x^{2} - 4 y^{2}}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} = 0 f ö r a t t h i t t a d e s t a t i o n ä r a p u n k t e r n a$

då y=0 , x=0 då x=0, $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} d ä r - \frac{\sqrt{3}}{2} f ö r k a s t a s e f t e r s o m d e n i n t e ä r i o m r å d e t, d x \geq 0$

$(0, 0), (0, \frac{\sqrt{3}}{2}) ä r v å r a s t a t i o n ä r a p u n k t e r . V i k o l l a r v ä r d e t p å d e s s a : f (0, 0) = 0 o c h f (0, \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{16} v i s p a r a r d e s s a f ö r a t t s e o m d e t f i n n s a n d r a p u n k t e r s o m g e r s t ö r r e v ä r d e .$

Steg 2: Undersöka singulära punkter

Då f är deriverbar i området så finns inga singulära punkter.

Steg 3: Randen som uppfyller Lagrange-villkoret

Detta användes inte i facit vid undersökning av randen.

Jag uppskattar det om någon kan ge mig tips och hjälp på hur jag ska gå vidare på den här och liknande uppgifter.

Lagrange multiplikatormetod säger att (givet att punkterna inte är sådana som ditt facit undersökt) $\nabla f = λ \cdot \nabla g$ , där $g(x,y)=x^2+y^2$ .

$\nabla f = (- \frac{x y^{3}}{\sqrt{- x^{2} - y^{2} + 1}}, \frac{y^{2} (- 3 x^{2} - 4 y^{2} + 3)}{\sqrt{- x^{2} - y^{2} + 1}})$ och $\nabla g = (2 x, 2 y)$ . Vi kommer även att behöva ett tredje krav, eftersom vi har tre variabler. Som krav väljer vi att $g(x,y)=1$ .

Detta ger oss ekvationssystemet:

$\{\begin{cases} - \frac{x y^{3}}{\sqrt{- x^{2} - y^{2} + 1}} = λ \cdot 2 x \\ - \frac{y^{2} (- 3 x^{2} - 4 y^{2} + 3)}{\sqrt{- x^{2} - y^{2} + 1}} = λ \cdot 2 y \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{cases}$

Börja med att lösa ut lambda från någon av ekvationerna, och sätt in det uttrycket istället för lambda i den andra. Då kommer du att få ett ekvationssystem med två obekanta (x och y) som du kan lösa. :)

Jag löste ut lambda ur båda ekvationerna och fick följande resultat:

$λ = \frac{- y^{3}}{2 \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} o c h λ = \frac{- y}{2 \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} o c h s a t t e b å d a l i k a m e d v a r a n d r a \frac{- y^{3}}{2 \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} = \frac{- y}{2 \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} \Rightarrow - y^{3} = - y \Rightarrow y^{3} - y = 0 \Leftrightarrow y (y^{2} - 1) = 0 y = 0 o c h y = \pm 1 A l l a v ä r d e n s t o p p a s i n i x^{2} + y^{2} = 1 D å f å s x = \pm 1 d å y = 0 m e n x = - 1 f ö r k a s t a s, (1, 0) D å y = \pm 1 f å s x = 0 (0, \pm 1) f (0, \pm 1) = 0 f (1, 0) = 0$

Kan man då dra slutsatsen att det största värden över området D är $\frac{3 \sqrt{3}}{16}$ ?

Behöver man inte studera hörnpunkterna också?

Jag vet att man i det här fallet redan vet vad de är, när x=0 så går y från -1 till 1, $f (0, \pm 1) = 0$ . Men är det något man alltid bör tänka på?

Svara