Bestäm största värde - linjär optimering
Hej! jag har fastnat på en fråga som jag skulle behöva lite hjälp med att komma vidare med i min uträkning. "Funktionen ".
För x och y gäller att:
1. x + 2y ≤ 10
2. x - y ≤ 1
3. 5x + y ≥ 5
"BESTÄM största möjliga värde för funktionen f."
Jag har kommit så pass långt att jag ritat in villkoren i ett koordinatsystem och fått ut 3 punkter; (0,5) (1,0) och (8,1).
Satt in punkterna i funktionen och fått ut följande uttryck:
1. f(0,5) = 20a - 10a^2
2. f(1,0) = a - a^2
3. f(8,1) = 12a - 10 a^2
Efter detta har jag även ritat in dessa utryck i koordinatsystemet och kan se att uttryck 1, når högst värde i punkten (1,10), men samtidigt; skulle högre x-värden antas, kommer uttryck nr 2 att inneha ett större funktionsvärde kontra uttryck 1. Jag kan även utläsa ur koordinatsystemet att uttryck 2 (a-a^2), faktiskt skär precis en av de tidigare skärningspunkterna jag fick utifrån villkoren, nämligen; (1,0). Kan detta ha något med att göra med lösningen?
Som ni ser har jag virrat in mig lite i mina egna tankar, känns som jag är nära en lösning. Men här tar det lite stopp, hur skall jag tänka? Vilket är det största värde på funktionen?
eelinbjorling skrev:.Jag har kommit så pass långt att jag ritat in villkoren i ett koordinatsystem och fått ut 3 punkter; (0,5) (1,0) och (8,1).
Varifrån kommer punkten (8:1)?
Visa hur du har ritat villkoren.
Oj! Ser nu att jag råkat skrivit villkor nr 2 fel...
det skall vara dessa villkor;
1. x + 2y ≤ 10
2. x - 7y ≤ 1
3. 5x + y ≥ 5
OK då stämmer dina punkter och dina tre funktionsuttryck 1-3 för f.
Rita nu dessa tre parabler i ett koordinatsystem där du sätter av a på den horisontella axeln.
Då ser du på en gång vilket av funktionsuttrycken som ger det största värdet och vad det är.
Hej igen! Har funderat lite nu, och jag förstår inte riktigt vad du menar med ”att sätta av a på x axeln”?
Målfunktionen f(x, y) är linjär i x och y, vilket innebär att dess största värde kommer att återfinnas i något av områdets tre hörn.
Det räcker därför att undersöka målfunktionens värde i dessa tre punkter.
I vart och ett av dessa punkter har målfunktionen ett eget utseende, så det blir alltså tre olika målfunktioner.
Gemensamt för dessa tre är att de inte längre beror på x och y eftersom både x och y är bestämda i respektive hörn.
Däremot beror alla tre funktionerna på parametern a. Vi kan alltså se dem som funktioner av a, enligt följande:
- f1(a) = 20a-10a2
- f2(a) = a-a2
- f3(a) = 12a-10a2
Alla tre funktioner är alltså andragradsfunktioner som beror på parametern a.
Du vill nu ta reda på det största värdet som dessa tre funktioner kan anta.
En bra metod är då att bestämma de tre funktionernas respektive största värde och sedan välja det största av dessa värden.
Problemet blir då helt enkelt att maximera f1(a), f2(a) och f3(a).
Du kan då använda den metod du känner dig mest bekväm med (ex derivata, kvadratkomplettering, parabelns symmetrilinje o.s.v).
Tack för en utförlig förklaring! :)
Resp andragradsfunktion har största värde:
1. 20a-10a^2 har största värde: 10
2. a-a^2 har största värde: 0,25
3. 12a-10a^2 har största värde: 3,6
Är det så simpelt att svaret är f1? då största värdet är 10. Det som krånglar till det för mig är att denna punkt är utanför det vita området.. Att det istället borde vara f3, som innehar sin maximipunkt i området? Eller tänker jag bara galet här..
Bra.
Ja, det är så simpelt att funktionens största värde är 10 (och att detta värde antas då a = 1).
Ja, du tänker galet och orsaken til att du gör det är att du ritar in de tre parablerna f1, f2 och f3 i xy-planet och att du därmed förväxlar a med x och resoektive funktionsvärde med y.
De tre funktionerna är ju inte funktioner av x utan av a.
Om du ska rita parablerna får du rita ett nytt koordinatsystem, där du kallar den horisontella axeln för a. I det nya koordinatsystemet finns inget vitt område som förvirrar.
