Bestäm största och minsta värdet för funktionen f(x,y) = sin(x) + sin(y) + |sin(x+y)|

Största och minsta värde hittas antingen i extrempunkter eller på randen till området.

För att hitta en extrempunkt inne i området måste både x och y-derivatorna vara 0 var för sig.

Tror att du dessutom kan behöva dela upp den här i flera områden där den är deriverbar, om beloppet ställer till det.

Jag fick fram dessa när jag deriverade: $$\begin{gathered} Dxf = \cos x + \frac{\sin (x+y)\cos (x+y)}{\left|\sin \right(x+y\left)\right|} \\ Dyf = \cos y + \frac{\sin (x+y)\cos (x+y)}{\left|\sin \right(x+y\left)\right|} \end{gathered}$$  

Jag ser inte hur jag kan få ut x eller y från x-och y-derivatorna när de är lika med noll.

Kan jag få en fingervisning?

Kolla in i vilka delområden i kvadraten som sin(x+y) är noll, större än noll och mindre än noll. Tex inser vi att sin(x+y) är noll på linjen x+y = pi, som är en diagonal i kvadraten.

Hur såg du att sin(x+y) är noll på linjen x+y=pi, som är en diagonal i kvadraten ?

sin(pi) = 0. Rita kvadraten och linjen x+y=pi så ser du.

$\left\{\begin{array}{l}Dxf= \cos x + \frac{\sin (x+y)\cos (x+y)}{\left|\sin \right(x+y\left)\right|}=0\\ Dyf=\cos y + \frac{\sin (x+y)\cos (x+y)}{\left|\sin \right(x+y\left)\right|}=0\end{array}\right.$ 

Hur ritar man den här kvadraten ? Är rektangeln beskriven i texten egentligen kvadraten?

Hur ska jag fortsätta efter deriveringen ? 

Hur ritar man den här kvadraten ? Är rektangeln beskriven i texten egentligen kvadraten?

Ja, rektangeln har två lika långa sidor så den kan även beskrivas som en kvadrat.

Lorem skrev:

$\left\{\begin{array}{l}Dxf= \cos x + \frac{\sin (x+y)\cos (x+y)}{\left|\sin \right(x+y\left)\right|}=0\\ Dyf=\cos y + \frac{\sin (x+y)\cos (x+y)}{\left|\sin \right(x+y\left)\right|}=0\end{array}\right.$ 

Hur ritar man den här kvadraten ? Är rektangeln beskriven i texten egentligen kvadraten?

Hur ska jag fortsätta efter deriveringen ? 

Ja, en rektangel med alla sidor lika är en kvadrat.

Har du tittat på vilket tecken sin(x+y) har på olika delar av kvadraten. Som jag sa så är sin(x+y) = 0 på linjen x+y=pi. Är sin(x+y) noll någon annanstans på kvadraten?

Notera att sin(x+y)/abs(sin(x+y)) är lika med 1 då sin(x+y) är större än noll, -1 då sin(x+y) är mindre än noll och odefinierat då sin(x+y) är noll.

Rita kvadraten och markera var sin(x+y) är noll, större än noll och mindre än noll.

sin(x+y) = 0 omm x+y = n$·$pi. Där n är godtyckligt heltal. Dvs sin(x+y) är noll på ett antal räta linjer i xy-planet. Men, om jag inte ser fel, så är det bara tre av dessa linjer som skär rektangeln, dvs x+y =0, x+y=pi och x+y=2pi. Linjen x+y=pi skär rektangeln längs en av diagonalerna. De andra linjerna skär rektangeln i varsitt hörn. Således är sin(x+y) = 0 på en diagonal och två hörn av rektangeln. Om du ritar så kan du lista ut i vilka områden av rektangeln som sin(x+y) är positiv respektive negativ.

Hur gick det med det här?