Bestäm största och minsta värde för funktionen 1/2x^3- |1-4x| på intervallet .

Hej, jag behöver hjälp med denna uppgift:

Bestäm största och minsta värde för funktionen 1/2x^3- |1-4x| på intervallet [-2,2] . Ange hur många lokala maxima och minima funktionen har i intervallet (glöm inte intervallets ändpunkter).

Jag börjar med att öppna upp absolutbeloppet med ett intervall. Jag delar upp det till två fall:

A: 1/2x^3-(1-4x) , [x>0]

B:1/2x^3+(1-4x) , [x<0]

Det första jag gör är att derivera båda fallen. Och sätta derivatan =0.

A'=((3x^2)/2)+4 =0 -> $x_{1} = \frac{i * 2 \sqrt{6}}{3}, x_{2} = - \frac{i * 2 \sqrt{6}}{3}$

B'=((3x^2)/2)-4 -> $x_{1} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Endast 1 utav x värden passar in till det angivna intervallet vilket är $x_{1}$ .

Sedan vet jag inte hur jag ska fortsätta. Lite vägledning skulle uppskattas.

$f(x)=\dfrac{x^3}{2}-|1-4x|$ .

Nja du har delningspunkt x=1/4 för beloppstermen.

Största/ minsta värde kan inträffa i

(1) intervalländpunkter

(2) stationära (inre) punkter

(3) hörn, dvs punkter där $f^\prime (x)$ är diskontinuerlig.

Du är inne på rätt väg.

Edit: sa inget nytt.

Notera att ibland sammanfaller lokala och globala extrempunkter.

dr_lund skrev:
$f(x)=\dfrac{x^3}{2}-|1-4x|$ .
Nja du har delningspunkt x=1/4 för beloppstermen.
Största/ minsta värde kan inträffa i
(1) intervalländpunkter
(2) stationära (inre) punkter
(3) hörn, dvs punkter där $f^\prime (x)$ är diskontinuerlig.
Du är inne på rätt väg.

Jag vet inte riktigt hur jag ska ställa upp med delningspunkten. Jag har för mig att 1/4 ska ingå i intervallet när jag öppnar upp absolutbeloppet.

A: $\frac{1}{2} x^{3} - (1 - 4 x), \frac{1}{4} \leq x \leq 1$

B: $\frac{1}{2} x^{3} + (1 - 4 x), \frac{1}{4} < x < 1$ .

Stämmer detta?

1hk1 skrev:
dr_lund skrev:
$f(x)=\dfrac{x^3}{2}-|1-4x|$ .
Nja du har delningspunkt x=1/4 för beloppstermen.
Största/ minsta värde kan inträffa i
(1) intervalländpunkter
(2) stationära (inre) punkter
(3) hörn, dvs punkter där $f^\prime (x)$ är diskontinuerlig.
Du är inne på rätt väg.
Jag vet inte riktigt hur jag ska ställa upp med delningspunkten. Jag har för mig att 1/4 ska ingå i intervallet när jag öppnar upp absolutbeloppet.
A: $\frac{1}{2} x^{3} - (1 - 4 x), \frac{1}{4} \leq x \leq 1$
B: $\frac{1}{2} x^{3} + (1 - 4 x), \frac{1}{4} < x < 1$ .
Stämmer detta?

Nej, dina två intervall är nästan identiska. De ska inte överlappa mer än i en punkt. Och varför begränsar du x till 1?

Laguna skrev:
1hk1 skrev:
dr_lund skrev:
$f(x)=\dfrac{x^3}{2}-|1-4x|$ .
Nja du har delningspunkt x=1/4 för beloppstermen.
Största/ minsta värde kan inträffa i
(1) intervalländpunkter
(2) stationära (inre) punkter
(3) hörn, dvs punkter där $f^\prime (x)$ är diskontinuerlig.
Du är inne på rätt väg.
Jag vet inte riktigt hur jag ska ställa upp med delningspunkten. Jag har för mig att 1/4 ska ingå i intervallet när jag öppnar upp absolutbeloppet.
A: $\frac{1}{2} x^{3} - (1 - 4 x), \frac{1}{4} \leq x \leq 1$
B: $\frac{1}{2} x^{3} + (1 - 4 x), \frac{1}{4} < x < 1$ .
Stämmer detta?
Nej, dina två intervall är nästan identiska. De ska inte överlappa mer än i en punkt. Och varför begränsar du x till 1?
Jag vet inte riktigt hur jag ska tänka här. Det ända jag vet att jag måste "välja" ett intervall när jag öppnar absolutbeloppet, men jag vet inte hur man ska göra det.

1hk1 skrev:

Jag vet inte riktigt hur jag ska tänka här. Det ända jag vet att jag måste "välja" ett intervall när jag öppnar absolutbeloppet, men jag vet inte hur man ska göra det.

Ibland är det enklare att använda algebra och lösa olikheter än att tänka fram hur det ska vara.

Gör så här:

Uttrycket 1-4x är ibland negativt, ibland positivt.

Uttrycket är negativt då 1 - 4x < 0, dvs då x > 1/4.
Uttrycket är positivt då 1 - 4x > 0, dvs då x < 1/4.

Det betyder att

|1 - 4x| = -(1 - 4x) = 4x - 1 då x > 1/4.
|1 - 4x| = 1 - 4x då x < 1/4.

Då x = 1/4 så här uttrycken samma värde, dvs 0. Därför spelar det ingen roll om du inkluderar x = 1/4 i det ena eller det andra intervallet.

Svara

Visa senaste svar