bestäm största och minsta värde för funktionen.

Utmärkt idé! Vad får du om du deriverar med kvotregeln? :)

jag har fått fram.

$$\begin{gathered} \frac{(x^2+10x+52)*\left(1\right)-(x+2)*(2x+10)}{{(x^2+10x+51)}^2} \\ \frac{-x^2+4x+72}{{(x^2+10x+52)}^2} \\ men sen blir jag fundersam hur jag ska göra för nu antar jag att jag ska sätta den lika med 0? \end{gathered}$$

Du bör sätta derivatan lika med noll. Ignorera nämnaren för närvarande, räkna ut när täljaren blir noll. Då du har några x-värden som gör att täljaren blir noll kan du sätta in de i nämnaren för att se om funktionen är definierad i den punkten.

Jag tror dock att du räknade fel; efter minustecknet är det bara addition och multiplikation vilket innebär att alla termer skall subtraheras aldrig adderas.

$$\begin{gathered} oj ja ser det nu också. \\ det blir istället \\ \frac{-x^2-4x+32}{{(x^2+10x+52)}^2} \\ okej om täljaren =0 \\ -x^2-4x+32=0 \\ här måste jag använda kvadratkopmlettering, men är osäker på hur det går till. \end{gathered}$$

Du kan börja med att multiplicera hela ekvationen med -1 (alternativt addera $x^2$ och $4x$ till samt subtrahera $32$ från båda sidor).

Sedan kan du kvadratkomplettera eller använda pq-formeln om du vill.

okej så då ser det ut såhär.

$$\begin{gathered} x^2+4x=-32 \\ {x}^2+4x+2^2=-32+2^2 \\ {(x+2)}^2=-32+2^2 \\ roten ur båda leden blir= x+2=\pm \sqrt{-28} \\ går ej att ta roten ur ett negativt tal vad gör jag då? \end{gathered}$$

Du fick fram:
$-x^2-4x+32=0$
Men sen blev det fel.
Om du multiplicerar med -1 blir det:

$x^2+4x-32=0$

Kommer du vidare nu?

hmm kan man bara multiplicera med -1 för att få det positivt? är det något knep?

jag får isf..

$$\begin{gathered} x^2+4x-32=0 \\ addera 32 på båda sidor \\ {x}^2+4x=32 \\ ta det som står framför kons\tan ten delat med två i kvadrat \\ {x}^2+4x+2^2=32+2^2 \\ kvadratkomplettering ger nu \\ {(x+2)}^2=32+2^2 \\ {(x+2)}^2=36ta nu roten ur på bägge sidor \\ \sqrt{{(x+2)}^2}=\sqrt{36} \\ x+2=\pm 6 \\ subtrahera med 2 på båda sidor \\ x=-2\pm 6 \\ x1:-2+6=4 \\ x2:-2-6=-8 \end{gathered}$$

vad är det exakt dem här värdena betyder? är det där derivatan är noll??

Det är där som derivatan är noll. Kontrollera nu hur det blir i nämnaren då x=4 och x=-8, för att se om funktionen faktiskt är definierad i de punkterna.

Ja, att multiplicera med -1 är ett knep för att bli av med minustecken framför $x^2$-termen.

Du missade ett $\pm$ framför $\sqrt{36}$, annars ser det bra ut.

Ja, derivatan är lika med 0 vid dessa x-värden.

Men det finns ett par saker du bör konttollera innan du går vidare.

1. Ligger dessa x-värden i det intressanta intervallet?
2. Är uttrycket definierat för dessa x-värden?
3. Finns det något x-värde i intervallet för vilket uttrycket inte är definierat?

ska jag stoppa in x=4 och x=-8 i nämnaren som den är eller ska jag derivera den först??

Sätt in det i nämnaren på derivatan. Du har kommit fram till att täljaren är 0; om det visar sig att nämnaren är 0 i dessa punkter är funktionen odefinierad i de så kallade 0-derivata-punkterna.

jag deriverar nämnaren till 2x+10

sätter jag in f'(4)=2*4+10=18

f'(-8)=2*(-8)+10=-8

Jag menade att du skulle sätta in det i nämnaren på derivatan. Dvs. ${\left(x^2+10x+52\right)}^2$, från ditt andra inlägg i den här tråden.

jag fattar inte..

Du kom fram till att derivatan kunde skrivas som

$\frac{-x^2-4x+32}{{\left(x^2+10x+52\right)}^2}$

Därefter så räknade du fram för vilka värden som täljaren är noll. Så länge som inte nämnaren samtidigt är noll så är det ett utmärkt sätt att se var som derivatan som helhet blir 0.

Därför måste du pröva att ta dina två uträknade x-värden, stoppa in i nämnaren, och kontrollera om nämnaren blir noll eller inte.

$f\left(4\right)={(4^2+10*4+52)}^2=11664¨f(-8)=(-8^2+10*{(-8)+52)}^2=-124256$

nämnaren blir inte noll om man sätter in värderna .

Finemang. Då vet du var som funktionen har en derivata på noll; var om någonstans som den har lokala extremvärden.

Då är förstås nästa steg att undersöka intervallet som de faktiskt frågade efter största och minsta värdet på. Ligger noll-derivata-punkterna inom intervallet? Om inte så saknas lokala extremvärden och man får titta på intervallets extrempunkter.

intervallet är -7,3 och ja 4 ligger i intervallet men inte -8. ska jag sätta in dem värden -7 och 3 i urpsungliga funktionen?

Ligger 4 i intervallet?

nej, det ser jag nu att det inte gör för intervallet är väl tal mellan 3 och -7?

Det var det du skrev i första inlägget.

[-3,7) betyder att -3 ingår i intervallet men att 7 inte gör det.

jag förstår inte... vad ska jag göra när jag fått fram mina nollställen och att nä,mnaren inte är noll i dessa värden? sen med det här intervallet förstår jag inte. Vart fins det mer information om det här....?

Eftersom funktionens derivata saknar nollställen i intervallet så saknar funktionen både min- och maxpunkt i intervallet.

Om funktionen är kontinuerlig i intervallet så betyder det att funktionen antingen är strängt växande ("uppförsbacke") eller strängt avtagande ("nerförsbacke") i hela intervallet.

Det betyder att det räcker med att undersöka intervallets gränser för att hitta eventuella största och/eller minsta värden.

Rita gärna en principskiss över ett möjligt utseende för funktionens graf i intetvallet. Var noga med att intervallet är öppet i ena ändan och slutet i den andra. Det har stor betydelse för svaret.