Bestäm största & minsta värdet (Matematik/Matte 4)

Du kan ju skriva om $\sin (x) \cdot \cos (x) = \frac{\sin (2 x)}{2}$ Enligt regeln för dubblevinkeln för sinus.

Och sedan derivera och använda då kedjeregeln istället.

(du skall få samma svar. Testa båda!)

Hur ska jag använda kedjeregeln här?

om du t.ex deriverar $y = \frac{x^{3^{}}}{2}$ så blir det $y' = \frac{3 x^{2}}{2}$ inget händer med 2:an i nämnaren

----------------------------------------------------------
I din fråga har du $y = \frac{\sin (2 x)}{2}$

Vad blir det när du deriverar sin(2x)? (använd kedjeregeln)

Yes!

Men du kan förenkla ditt svar.

Jag har beräknat vad andra derivatan blir. Och om jag sätter in x=0.79 så får jag en negativ andraderivata vilket innebär att då x=0.79 har vi en maximipunkt. Dvs att det är det största värdet. Då x=1.17 får jag även ett negativt tal på andra derivatan. Det måste isåfall. Vara något fel med min uträkning

Varför skriver du 1,57 istället för pi/2?

Och varifrån får du 2,35?

Ekvationen $\cos(v)=0$ har lösningsmängden $v=\pm\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$ (som går att förenkla, eller hur?)

Fortsätt därifrån.

======

Och du behöver inte använda andraderivatan eftersom det endast ha dlar om att hitta största och minsta värdet.

Däremot måste du tänka på en annan sak, nämligen intervallets ändpunkter.

ja men i det här fallet har vi cos(2x)=0 och inte cos(v)=0

Var får du cos(v)=0 ifrån?

Jag ville bara förenkla genom att kalla 2x för v ett litet tag, som vi gjorde i början av din resa in i den förunderliga världen bestående av trigonometriska ekvationer.

Men OK, vi kör på 2x.

Ekvationen $\cos(2x)=0$ har lösningsmängderna $2x=\pm\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$ (som går att förenkla, eller hur?)

Fortsätt därifrån.

=============

Men du svarade inte på mina frågor om 1,57 och 2,35.

Jag får alltså att x=-pi/4 ger oss en minpunkt för andra derivatan är större än 0. Medans x=pi/4 ger oss en maxpunkt för andra derivatan är mindre än 0

Lösningen x = -pi/4 ligger inte i det efterfrågade intervallet.

Du ska ta fram det/de x-värden som ligger i det efterfrågade intervallet och undersöka funktionens värden vid dessa x-värden.

Du bör även ta med funktionens värden i intervallets ändpunkter.

Och svaret ska vara funktionens minsta respektive största värde, inte vid vilka x- koordinater dessa värden inträffar.

Du kan men behöver inte ta fram och använda andraderivatan för att hitta dessa.

Jag testar med att sätta in x=pi/4 i den ursprungliga ekvationen och får ett postivt värde medans när jag sätter in x=-pi/4 så får jag ett negativt värde som inte är inom intervallet. Alltså är det rimligast att det Största värdet är sin(pi/2)/2 =1/2

Minsta värdet är sin(-pi/2)/2 = -1/2

Du måste visa att du tar fram alla möjliga värden på x.

Du ska alltså pröva med olika värden på n.

Hur menar du? Kan du ge exempel på vad du menar?

Du har tagit fram x1 och x2. Vilka x ligger i intervallet (tänk på perioden).

3pi/4 är det enda x som ligger i intervallet , men hur ska jag tolka om det är Max eller min?

3pi/4 är rätt.
Men ger inte x1=pi/4+pi*n något värde i intervallet?

Du har funktionen. Då kan du få fram värden.

OBS: Yngve påpekade även:
"Du bör även ta med funktionens värden i intervallets ändpunkter."
I ett godtyckligt intervall kan ju gränserna råka ge värden som är min eller max utan att derivatan där är 0. Så gränserna ska alltid undersökas (sätt in och beräkna. kontrollera om min eller max)

Nej det ger inte ger inget svar inom intervallet jag har testat. Det kan jag visa dig :

x=pi/4 + pi*n

om n=0
x=0.785 (ej inom intervallet)

om n=1

x=3.925 (ej inom intervallet)

============

Jag förstår inte vad som menas ”Du bör även ta med funktionens värden i intervallets ändpunkter."

1) Förstår inte vad du menar: 0 <= 0,785 <= 3,2

2) En kurva kan ha toppar och dalar med max och min. Men i ett intervall kan andra punkter vara min och max.
Exempel: vad är min och max av sin(x) i intervallet 0 till 150 grader.
Deriverar du och hittar nollställen får du min för x=270 och max för x=90.
Men i intervallet 0 till 150 grader finns min för x=0 och max för x=90.
Min fick vi för intervallets nedre gräns x=0, max fick vi extrempunkten x=90

Okej , 0.785 ligger inom intervallet. Det är ju större än 0.. :)

Men det är otydligt vad du menar i förklaring 2)

Han menar nog att för olika intervall finns det olika max. och min punkter. Just i intervallet 0 till 150 grader är det min för x=0 och max för x=90.

Okej..? Så hur hittar jag Max och minpunkten? Känns att jag har tappat bort mig

Du hittar den genom att få fram förstaderivatan och eventuellt andraderivatan om det behövs. Är andraderivatan är negativ är det en max. punkt (lutningen, dvs. förstaderivatan minskar). Om andraderivatan är positiv är det en min. punkt (lutningen, dvs. förstaderivatan ökar).

Ska jag alltså derivera funktionen f(x)=sin(x)cos(x) 2 ggr för att få fram andra derivatan och därmed testa med att sätta in de x värden jag fått fram. Om andra derivatan blir > 0 så är det en minpunkt (minsta värdet) om andra derivatan istället blir < 0 då är det Max punkt

Egentligen räcker det med att jämföra värdena för x i min. och max. punkten. Fast i vissa uppgifter kan det hända att du behöver andraderivatan, t.ex om du bara behöver få fram 1 extrempunkt och du behöver få fram om det är en max/min punkt. När det är 2 extrempunkter så räcker det att jämföra f(x) för de 2 punkterna.