Bestäm skärningsvinkel mellan kurvorna vid respektive skärningspunkt

Problemet är tvådimensionellt, så här ser det ut

Man kan t.ex. låta $f(x,y)=5x^2+5xy+3y^2-8x-6y+3$ samt $\mathbf{r}(t)=(t^2,t+1)$

Då kan du studera skalärprodukten mellan normalen till ellipsen, $\nabla f(x,y)$, och tangenten till kurvan.

$\displaystyle \nabla f(x,y) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$

När tangenten och normalen är vinkelräta mot varandra är de två kurvorna parallella.

När tangenten och normalen är parallella med varandra är kurvorna vinkelräta mot varandra.

Du kan också se det som att tangenten till $\mathbf{r}(t)$ och nivåkurvan (dvs ellipsen) $f(x,y)=0$ är parallella med varandra när riktningsderivatan i tangentens riktning (dvs ändringen av $f(x,y)$ i tangentens riktning) är noll (definitionen av en nivåkurva).

D4NIEL skrev:

Problemet är tvådimensionellt, så här ser det ut

Man kan t.ex. låta $f(x,y)=5x^2+5xy+3y^2-8x-6y+3$ samt $\mathbf{r}(t)=(t^2,t+1)$

Då kan du studera skalärprodukten mellan normalen till ellipsen, $\nabla f(x,y)$, och tangenten till kurvan.

$\displaystyle \nabla f(x,y) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$

När tangenten och normalen är vinkelräta mot varandra är de två kurvorna parallella.

När tangenten och normalen är parallella med varandra är kurvorna vinkelräta mot varandra.

Du kan också se det som att tangenten till $\mathbf{r}(t)$ och nivåkurvan (dvs ellipsen) $f(x,y)=0$ är parallella med varandra när riktningsderivatan i tangentens riktning (dvs ändringen av $f(x,y)$ i tangentens riktning) är noll (definitionen av en nivåkurva).

Tack,

när det kommer till att studera skalärprodukten har jag ställt upp detta: (10x+5y-8,5x+6y-6)·(2t,1)=0

Hur går jag vidare från detta? Sätter in punkterna i gradienten? 

Ja, du har ju räknat ut skärningspunkterna  så det är bara att sätta in de värden på $x,y,t$ som motsvarar respektive punkt.

Förslagsvis börjar du med punkten $(x,y)=(0,1)$ och $t=0$, där kurvorna är parallella (åtminstone enligt vår graf), alltså ska normalen vara vinkelrät (eller nästan vinkelrät) mot kurvans tangent i den punkten.

D4NIEL skrev:

Ja, du har ju räknat ut skärningspunkterna  så det är bara att sätta in de värden på $x,y,t$ som motsvarar respektive punkt.

Förslagsvis börjar du med punkten $(x,y)=(0,1)$ och $t=0$, där kurvorna är parallella (åtminstone enligt vår graf), alltså ska normalen vara vinkelrät (eller nästan vinkelrät) mot kurvans tangent i den punkten.

Tack, bra graf och förklaringar.

Har fått till lösningen efter att ja satte t=0 och t=-1 för att få båda parallella.