Bestäm sista siffran i ett tal

Ljunghonung skrev:

Bestäm slutsiffran i det mycket stora talet 7^407. Det enda som jag inte vet är vilken modulo jag skall använda. Hur kommer man fram till det i dessa typer av uppgifter?

Slutsiffran är den rest det blir när man delar talet med 10.

Jag försökte med det men lyckades inte. Jag vill skriva om basen till något som är kongruent med 1, -1 eller 0 mod10. 49 är kongruent med -1 mod10. Detta leder dock till att det blir decimaltal i exponenten vilket jag antar inte är tillåtet.

Jag försökte med det men lyckades inte. Jag vill skriva om basen till något som är kongruent med 1, -1 eller 0 mod10. 49 är kongruent med -1 mod10. Detta leder dock till att det blir decimaltal i exponenten vilket jag antar inte är tillåtet.

Krångla inte till det! Undersök om det blir något mönster:

7¹ = 7 kongruent med 7 (mod 10)

7² = 49 kongruent med 9 (mod 10), eller med -1 om du föredrar det

7³ = 343 samma rest som 9^.7 = 63 och kongruent med 3(mod 10), eller med -7 om du föredrar det

7⁴ = 2401 samma rest som 3^.7=21 och kongruent med 1 (mod 10)

7⁵ = 16 807 kongruent med 7 (mod 10)

Där har vi kommit varvet runt!

Kommer du vidare?

Jag delar 407/5 för att se hur många hela varv denna sekvens kommer att gå igenom. Detta blir 81.4. "Resten" blir två. Svaret blir då 3(mod 10), 3, vilket är rätt.

Tack!

Jag delar 407/5 för att se hur många hela varv denna sekvens kommer att gå igenom. Detta blir 81.4. "Resten" blir två. Svaret blir då 3(mod 10), 3, vilket är rätt.

Varför delar du  med just 5? Det är ju 7⁴ som är kongruent med 1. 407/4 har resten 3 så 7⁴⁰⁷ kan skrivas som 7⁴⁰⁴7³ som är kongruent med 7³ som är kongruent med 3.