Bestäm siffertermen till binomet

Vi kan utveckla uttrycket med binomialsatsen och få: 

${\left(\sqrt{x}+\frac{3}{x^2}\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right){\sqrt{x}}^k·{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{10-k}$

Vi vill nu hitta de k:n som gör att $\cancel{{\sqrt{x}}^k={\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k}}$ ${\sqrt{x}}^k·{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k}=1=x^0$ (vi behöver inte bry oss om trean i täljaren just nu). Vilka k uppfyller detta? :)

Edit: Formeln i sista stycket blev fel. Nu ska det stämma.

Jag löste ut k men det var väl inte det du menade eller hur? 

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{x}\right)}^k={\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k} {\left({\left(\sqrt{x}\right)}^2\right)}^k=({\left(\frac{1}{x^2}\right)}^2{)}^{10-k} \\ {x}^k={\left(\frac{1}{x^4}\right)}^{10-k}={\left(x^{-4}\right)}^{10-k} lg x^k=lg {\left(x^{-4}\right)}^{10-k} \\ k*lg x=(10-k)*lg \left(x^{-4}\right) \\ \frac{lg x}{lg \left(x^{-4}\right)}=(10-k)/k \\ \frac{lg x}{lg \left(x^{-4}\right)}=\frac{10}{k}-1 \\ \frac{lg x}{lg \left(x^{-4}\right)}+1=\frac{10}{k} \\ \left(\frac{lg x}{lg \left(x^{-4}\right)}+1\right)*k=10 \\ k=\frac{10}{\left(\frac{lg x}{lg \left(x^{-4}\right)}+1\right)} \end{gathered}$$

Vad är det för ekvation du löser? Du skall lösa ut k ur ekvationen  ${\sqrt{x}}^k={\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k}$

Smaragdalena skrev:

Vad är det för ekvation du löser? Du skall lösa ut k ur ekvationen  ${\sqrt{x}}^k={\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k}$

Jag försökte lösa ut k ur den ekvationen.

Tror du krånglat till det lite.

Summan av exponenterna ska vara 0, vilket ger:

$\frac{k}{2}-2(10-k)=0$
...

Smaragdalena skrev:

Vad är det för ekvation du löser? Du skall lösa ut k ur ekvationen  ${\sqrt{x}}^k={\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k}$

Är väl summan av exponenterna i VL och HL som ska vara 0, de ska inte vara lika i sig?

Wiki skrev:

Smaragdalena skrev:

Vad är det för ekvation du löser? Du skall lösa ut k ur ekvationen  ${\sqrt{x}}^k={\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k}$

Jag försökte lösa ut k ur den ekvationen.

Det blev så svårläst när du hade två steg på samma rad att jag inte begrep att det var det du gjorde - det såg ut som om du hade en produkt av två parenteser på första raden.

tomast80 skrev:

Tror du krånglat till det lite.

Summan av exponenterna ska vara 0, vilket ger:

$\frac{k}{2}-2(10-k)=0$
...

då menar du

$$\begin{gathered} \frac{k}{2}-2(10-k)=0 \\ \frac{k}{2}-20+2k=0 \\ k-40+4k=0 \\ -40+5k=0 \\ 5k=40 \\ k=8 \end{gathered}$$

Wiki skrev:

tomast80 skrev:

Tror du krånglat till det lite.

Summan av exponenterna ska vara 0, vilket ger:

$\frac{k}{2}-2(10-k)=0$
...

då menar du

$$\begin{gathered} \frac{k}{2}-2(10-k)=0 \\ \frac{k}{2}-20+2k=0 \\ k-40+4k=0 \\ -40+5k=0 \\ 5k=40 \\ k=8 \end{gathered}$$

Jag får inte rätt svar när jag sätter in k-värdet i binomialsatsen för att beräkna siffertermen. Hur ska jag göra?

$\left(10 välj 8\right)*{\left(\sqrt{x}\right)}^2*{\left(3x^{-2}\right)}^8=\frac{10!}{8!*2!}*3^8*x*x^{-16}=295245*x^{-15}$

(Jag använde formeln för antal kombinationer)

Två saker:

Ett: Ursäkta, det är jag som klantade till den första formeln, som tomast80 påpekat. Vi vill få produkten ${\sqrt{x}}^k·{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k}=1=x^0$. Det motsvarar att lösa ekvationen ${\sqrt{x}}^k={\left(x^2\right)}^{10-k}$, vilket vi får till: 

$$\begin{gathered} {\sqrt{x}}^k=x^{20-2k} \Rightarrow \\ 0,5k=20-2k \\ 2,5k=20 \\ k=8 \end{gathered}$$

Av oklar anledning får du ändå rätt svar, vilket är k = 8, men det blir fel när du sätter in det.

Vilket leder mig till punkt två:

Om vi nu sätter in detta i binomialsatsen får vi att siffertermen blir $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right){\sqrt{x}}^8·{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{10-8}=\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)·x^4·\frac{3^2}{x^4}=9·45=405$

Smutstvätt skrev:

Två saker:

Ett: Ursäkta, det är jag som klantade till den första formeln, som tomast80 påpekat. Vi vill få produkten ${\sqrt{x}}^k·{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{10-k}=1=x^0$. Det motsvarar att lösa ekvationen ${\sqrt{x}}^k={\left(x^2\right)}^{10-k}$, vilket vi får till: 

$$\begin{gathered} {\sqrt{x}}^k=x^{20-2k} \Rightarrow \\ 0,5k=20-2k \\ 2,5k=20 \\ k=8 \end{gathered}$$

Av oklar anledning får du ändå rätt svar, vilket är k = 8, men det blir fel när du sätter in det.

Vilket leder mig till punkt två:

Om vi nu sätter in detta i binomialsatsen får vi att siffertermen blir $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right){\sqrt{x}}^8·{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{10-8}=\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)·x^4·\frac{3^2}{x^4}=9·45=405$

I min bok står det att a(den första termen i binomet) har exponenten n-k och b(den andra termen i binomet) har exponenten k, alltså att ${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)*a^{n-k} *b^k$ . Jag tolkade därför att det ska vara $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right){\left(\sqrt{x}\right)}^{10-8} * {\left(\frac{3}{x^2}\right)}^8$men du gör tvärt om på exponenterna? Hur vet man när man ska göra det?

Det spelar ingen roll – det ger bara polynomets termer i omvänd ordning ($b+a$ istället för $a+b$). Det viktiga är att du håller koll på vilken formel du använder. Med din boks formel skulle ekvationen vi löser för att hitta k vara ${\sqrt{x}}^{10-k}·{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^k=x^0$, vilket ger ett annat k-värde, men samma sifferterm i slutändan. :)