Bestäm samtliga lösningar till femtegradspolynom

Tänker jag rätt när jag använder  $z^3=-3 => z = \sqrt[3]{-3}$och sätter det som |z|. Det ger mig då $\sqrt[3]{-3}$(cos(v)+isin(v)).

Kan man därefter tänka att det är totalt 3st punkter inom 360 grader så att punkterna ligger på 360/3 graders avstånd (0, 120, 240). Sen sätta in dessa värden och få ut att de fem faktorerna är

$$\begin{gathered} z_1=3 \\ {z}_2= -3 \\ {z}_3=\sqrt[3]{-3}\left(\cos \right(0)+i\sin (0\left)\right) \\ {z}_4=\sqrt[3]{-3}\left(\cos \right(120)+i\sin (120\left)\right) \\ {z}_5=\sqrt[3]{-3}\left(\cos \right(240)+i\sin (240\left)\right) \end{gathered}$$

Det ser bra ut! :)

Smutstvätt skrev:

Det ser bra ut! :)

När man får ut att $z = \sqrt[3]{-3}$kan man då sätta det som |z|. Borde det inte vara att $\left|z\right| = \sqrt[3]{3}$då avstånd inte kan vara negativt?

Nej $|z|$ kan inte vara negativt.

Om du istället skriver ekvationens lösningar på följande standardform så framgår det tydligare vad beloppen och argumenten är:

Ekvationen $z^3=-3$ har lösningarna

$z_3=3^{\frac{1}{3}}(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}))$

$z_4=3^{\frac{1}{3}}(\cos(\pi)+i\sin(\pi))$

$z_5=3^{\frac{1}{3}}(\cos(\frac{5\pi}{3})+i\sin(\frac{5\pi}{3}))$

Yngve skrev:

Nej $|z|$ kan inte vara negativt.

Om du istället skriver ekvationens lösningar på följande standardform så framgår det tydligare vad beloppen och argumenten är:

Ekvationen $z^3=-3$ har lösningarna

$z_3=3^{\frac{1}{3}}(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}))$

$z_4=3^{\frac{1}{3}}(\cos(\pi)+i\sin(\pi))$

$z_5=3^{\frac{1}{3}}(\cos(\frac{5\pi}{3})+i\sin(\frac{5\pi}{3}))$

Alltså detta 

Har dock problem med varför man väljer att börja med 180 grader och inte noll grader. Beror det på att det är - 3 man använder och inte + 3?

Vi kan skriva det komplexa talet $-3$ som $3(\cos(\pi+2n\pi)+i\sin(\pi+2n\pi))$.

Om vi sedan skriver $z=r(\cos(v)+i\sin(v))$ så är $z^3=r^3(\cos(3v)+i\sin(3v))$ och ekvationen kan då skrivas

$r^3(\cos(3v)+i\sin(3v))=$

$=3(\cos(\pi+2n\pi)+i\sin(\pi+2n\pi))$

Denna ekvation har lösningarna

$r=3^{\frac{1}{3}}$

$3v=\pi+2n\pi$

Med $n=0$ får vi $v=\frac{\pi}{3}$

Med $n=1$ får vi $v=\pi$

Med $n=2$ får vi $v=\frac{5\pi}{3}$

Yngve skrev:

Vi kan skriva det komplexa talet $-3$ som $3(\cos(\pi+2n\pi)+i\sin(\pi+2n\pi))$.

Om vi sedan skriver $z=r(\cos(v)+i\sin(v))$ så är $z^3=r^3(\cos(3v)+i\sin(3v))$ och ekvationen kan då skrivas

$r^3(\cos(3v)+i\sin(3v))=$

$=3(\cos(\pi+2n\pi)+i\sin(\pi+2n\pi))$

Denna ekvation har lösningarna

$r=3^{\frac{1}{3}}$

$3v=\pi+2n\pi$

Med $n=0$ får vi $v=\frac{\pi}{3}$

Med $n=1$ får vi $v=\pi$

Med $n=2$ får vi $v=\frac{5\pi}{3}$

Tack för hjälpen :)