Bestäm rötterna och polynomfaktorisera

Kvadratkomplettering är när man skriver ett andragradsuttryck på formen $ax^2+bx+c$ på formen $k(x-h)^2+m$ med hjälp av kvadreringsreglerna. Det är något du antagligen har lärt dig på gymnasiet och är vad PQ-formeln bygger på.

Exempelvis kan $2x^2+3x+1$ skrivas som:

$2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{1}{8}$

med hjälp av kvadratkomplettering. Om du har glömt hur man går tillväga kan du läsa på här.

Observera att kvadratkomplettering inte är samma sak som att faktorisera.

Om du behöver hjälp att hitta rötterna så kan du läsa detta.

Det har jag gjort på första frågan och roten är 1/3. Men de ville att jag ska bara använda kvadratkomplettering och inte pq. Så jag måste dividera 3x^2-12x-1 med tre och blir x^2-4x-1 som sen använder jag kvadratkomplettering. Och när jag är klar får jag de andra rötter. 

Sen går jag i frågan b) och polynomfaktorisera. Men jag vet inte hur man gör.

Man lär sig faktiskt kvadratkomplettering innan man lär sig PQ-formeln i Ma2, eftersom PQ-formeln bygger på att man "kvadratkompletterar en gång för alla", men de flesta glömmer sedan båda hur man kvadratkompletterar och varifrån man fått PQ-formeln (om man kommer ihåg den alls).

Ok. Nu vet jag men frågan b) polynomfaktorisera. Ska jag ta de rötterna och sen faktorisera eller är det första polynom som är 3x^3-13x^2+x+1 eller den här 3x^2-12x-3.

mask134 skrev:

Ok. Nu vet jag men frågan b) polynomfaktorisera. Ska jag ta de rötterna och sen faktorisera eller är det första polynom som är 3x^3-13x^2+x+1 eller den här 3x^2-12x-3.

Precis som det står så innebär en polynomfaktorisering av p(x) att du skriver p(x) som en produkt av polynom med lägre grad.

Säg att nollställena till p(x) är $x_1$, $x_2$ och $x_3$.

Då är följande en polynomfaktorisering av p(x):

$p(x)=k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, där $k$ är en konstant.

Det du har gjort hittills är att konstatera att $x_1=\frac{1}{3}$ och att du alltså har faktoriserat p(x) ett steg till

$p(x)=(x-\frac{1}{3})(3x^2-12x-3)$

Nästa steg blir då att försöka faktorisera $3x^2-12x-3$ till $k(x-x_2)(x-x_3)$ och då får du inte använda pq-formeln eller andra formler.

Ok men när jag försöker faktorisera 3x^2-12x-3 till 3(x^2-4x-1). Varför blir det bara en parantes och inte två paranterser.  Efter att jag har faktoriserat andra steget som är  3(x^2-4x-1). Vad ska jag göra sen.

Du vill försöka kvadratkomplettera $(x^2-4x-1)$ till något i stil med $(x-x_{{}^2})(x-x_3)$ som Yngve skrivit

Du vill hitta rötterna via en kvadrattkomplettering för att kunna polynomfaktorisera. Lös $(x^2-4x-1)=0$

vilken har 2 rötter där ${x_2}_{{}_{}}$och $x_3$ är rötterna.

Ja, jag vill kvadratkomplettera med stilen (x−x2)(x−x3), men det går inte med (x^2-4x-1) att göra det.

Jag glömde att skriva vad ska jag göra med -1 när jag flyttar den till x^2-4x=1.

mask134 skrev:

Ja, jag vill kvadratkomplettera med stilen (x−x2)(x−x3), men det går inte med (x^2-4x-1) att göra det.

För att kvadratkomplettera $x^2-4x-1$ gör du så här:

$x^2-4x-1=x^2-4x+4-4-1=$

$=x^2-4x+4-5=(x-2)^2-5$

Ok nu förstår jag tack. Men vad ska jag göra sen med (x-2)^2-5.  Och hur får jag fram andra rötter med (x-2)^2-5. Jag har glömt.

Har du inte läst igenom länken jag gav dig?

Smaragdalena skrev:

Man lär sig faktiskt kvadratkomplettering innan man lär sig PQ-formeln i Ma2, eftersom PQ-formeln bygger på att man "kvadratkompletterar en gång för alla", men de flesta glömmer sedan båda hur man kvadratkompletterar och varifrån man fått PQ-formeln (om man kommer ihåg den alls).

Ok. Jag har läst länken och försökte med (x-2)^2-5 och fick fram x = 2+√5 eller x= 2-√5. Som är rötterna.

Du kan alltså faktorisera polynomet $p(x)=3x^3-13x^2+x-1$ som $p(x)=(3x-1)(x-2-\sqrt5)(x-2+\sqrt5)$.