Bestäm rötter till fjärdegradspolynom.

Utnyttja symmetrin hos polynomet $P$ för att reducera problemet  till ett enklare problem.

Albiki skrev:

Utnyttja symmetrin hos polynomet $P$ för att reducera problemet  till ett enklare problem.

Visa spoiler

Det är uppenbart att $z\neq 0$ så det går bra att dividera med $z^2$ för att få uttrycket

    $P(z)/z^2=z^2+z^{-2}-(z+z^{-1})+1.$

Inför $w=z+z^{-1}$ och notera $w^2 = z^2+z^{-2}+2$ så att man kan skriva $Q(w) = w^2-w-1.$ Om $w_0$ är en rot till detta andragradspolynom får man motsvarande två rötter till polynomet $P$ via sambandet

    $z=0.5w_0\pm\sqrt{0.25w_0^2-1}.$

Intressant tillvägagångssätt! Vad får du för svar?

Ordet symmetri gav mig en idé. 

Laguna skrev:

Visa spoiler

Tittar man på P(-z) så har man en geometrisk summa. Det har man förstås annars också, men det blev mer uppenbart nu. 

Ordet symmetri gav mig en idé. 

Detta börjar likna min egen lösning. :-)

Dock är man en bit ifrån klar även när man gjort denna insikt. Vad får du för svar?

AlvinB skrev:

Laguna skrev:

Visa spoiler

Tittar man på P(-z) så har man en geometrisk summa. Det har man förstås annars också, men det blev mer uppenbart nu. 

Ordet symmetri gav mig en idé. 

Detta börjar likna min egen lösning. :-)

Dock är man en bit ifrån klar även när man gjort denna insikt. Vad får du för svar?

Laguna skrev:

AlvinB skrev:

[...]

Visa spoiler

Rötterna till $z^5 = -1$, utom -1.

Ja, och vad blir då dessa rötter?

Ursäkta sent svar, men jag måste säga att det var kul att det gick att lösa det på ett helt annat sätt än det jag tänkte mig!

Min egen idé gick ut på att använda en variant på den generaliserade konjugatregeln:

$x^{2n+1}+1=(x+1)(x^{2n}-x^{2n-1}+x^{2n-2}+...-x+1)$

Vilket ger samma sak som Laguna kommit fram till, nämligen att $z^5+1$ har samma rötter som $P(z)$ med undantag för $z=-1$.

Nu börjar den lite mer algebraintensiva delen av lösningen. På det gamla vanliga sättet finner man att $z^5+1$ har rötterna:

$z_1=e^{i\frac{\pi}{5}}$

$z_2=e^{i\frac{3\pi}{5}}$

$z_3=e^{i\frac{7\pi}{5}}$

$z_4=e^{i\frac{9\pi}{5}}$

$z_5=e^{i\frac{5\pi}{5}}=-1$

För att finna exakta uttryck för dessa gäller det att finna uttryck för sinus och cosinus för vinklarna $\pi/5$ och $3\pi/5$ (De andra två rötterna är komplexkonjugat av dessa). Jag började med att låta $\theta=\pi/5$ och konstatera att $5\theta=\pi$ och $\pi-2\theta=3\theta$. Då fås:

$\sin(\pi-2\theta)=\sin(3\theta)$

$\sin(2\theta)=\sin(3\theta)$

Sedan används formlerna $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$ och $\sin(3\theta)=3\sin(\theta)\cos^2(\theta)-\sin^3(\theta)$:

$2\sin(\theta)\cos(\theta)=3\sin(\theta)\cos^2(\theta)-\sin^3(\theta)$

Eftersom $\sin(\theta)\neq0$ kan båda led delas med $\sin(\theta)$:

$2\cos(\theta)=3\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)$

$2\cos(\theta)=3\cos^2(\theta)-(1-\cos^2(\theta))$

$2\cos(\theta)=4\cos^2(\theta)-1$

$4\cos^2(\theta)-2\cos(\theta)-1=0$

Sättes nu $t=\cos(\theta)$ fås en andragradsekvation, vars lösningar är:

$t=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{4}$

Då $\cos(\theta)>0$ erhålls att:

$\cos\left(\theta\right)=\cos(\dfrac{\pi}{5})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$

Med trigonometriska ettan fås sedan ett uttryck för $\sin(\pi/5)$:

$\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\sqrt{1-\cos^2\left(\dfrac{\pi}{5}\right)}=...=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Då $\sin(3\pi/5)=\sin(\pi-3\pi/5)=\sin(2\pi/5)$ blir:

$\sin(\dfrac{3\pi}{5})=\sin(\dfrac{2\pi}{5})=2\sin(\dfrac{\pi}{5})\cos(\dfrac{\pi}{5})=...=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

Trigonometriska ettan ger cosinusvärdet:

$\cos(\dfrac{3\pi}{5})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$

Detta tillsammans med det faktum att $z_3=\bar{z_2}$ och $z_4=\bar{z_1}$ ger rötterna:

$z_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}+\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i$

$z_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}+\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i$

$z_3=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}-\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i$

$z_4=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}-\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i$