Bestäm rötter till ekvationen f(x)= 2ln(|x|)-5arctanx+3=a

Skissa grafen till funktionen

f(x) = 2ln|x|-5arctanx + 3, mha derivata etc.

På hur många ställen skär den horisontella linjen y = a grafen till f för olika värden på a.

Jag kommer behöva undersöka två fall och det är när x>0 och x<0.

När x>0 får jag att

f(x)= 2ln(x)-5arctan⁡(x+3)

f'(x)= (2/x)-(5/1+(x+3)^2 )

f''(x)= (-2/x^2) +(10x+30)/(x^2+6x+10)^2

När x<0 får jag att

f(x)= -2ln(x)+5arctan⁡(x+3)

f'(x)= (-2/x)+(5/1+(x+3)^2 )

f''(x)= (2/x^2) - 10x+30/(x^2+6x+10)^2

Om x > 0 så är derivatan positiv för alla x. Om x < 0 så är derivatan positiv för alla x. 

Hur ska jag gå vidare och skissa grafen?

Du behöver inte dela upp i olika fall. Derivatan av ln|x| är 1/x.

Hur ser uppgiften ut exakt? Skall det vara arctan(x+3) eller arctan(x) + 3?

Ahhhaa okej. Jag kollade om på uppgiften och det ska vara arctan(x) + 3. 

Då får jag derivatan till

f’(x) = $\frac{2x^2-5x+2}{x\left(1+x^2\right)}$.

Ja det stämmer. Om jag sätter derivatan lika med noll får jag att x=1/2 och x=2.

om x<1/2 är derivatan positiv.

om 1/2<x<2 är derivatan negativ.

om x>2 är derivatan positiv.

jag får en maximipunkt vid (1/2, -0,7) och en minimipunkt vid (2, -1,1)

Så då borde du kunna skissa funktionen. Funktionen går mot -oändlighet då x går mot noll och mot oändligheten då |x| går mot oändlighet, och så har man lokala max och minvärden då x = 1/2 och 2.

Tack så mycket! Hur bestämmer jag rötterna till ekvationen? Vilka värden ska jag sätta a=?

Dra olika horisontella linjer (y = a) och se hur många gånger linjerna skär grafen y = f(x). Tex om a < f(2) så ser vi att linjen linjen kommer skära två gånger, så det finns två lösningar. Samma sak om a > f(1/2). 

Okej! Finns det ett algebraiskt sätt att hitta a-värdena?

Ser ut som en knepig ekvation att lösa algebraiskt. Det är nog tänkt att du skall använda analytiska tekniker här.

Du behöver inte bestämma rötterna, bara hur många de är för varje värde på a.

Oki, tack så jättemycket för hjälpen!

Hej, jag sitter med denna uppgift och undrar ifall jag har tänkt rätt:

Precis som @PATENTERMERA skrev så fick jag att  "a < f(2) så ser vi att linjen linjen kommer skära två gånger, så det finns två lösningar. Samma sak om a > f(1/2)". 

Det jag undrar är alltså om jag tänkt rätt kring hur många lösningar som finns i intervallet mellan max- och min punkten, för enligt grafen ser det eventuellt ut som att det ska vara 4 lösningar?