Bestäm rotationskroppens volym

Jag tror du tänker lite fel hur figuren kommer att se ut. Figuren kommer att bli en ihålig figur. Försök skissa den tredimensionella volymen så ser du nog 

Hint, du måste räkna totalvolym minus ihålighet. Inte "totalradie-ihålighetsradie" 

Aha, nu fattar jag. Jag delar upp den i två "volymer". Hade det i åtanke när jag löste uppgiften, men trodde att man skulle kunna köra allt i svep. Det kanske inte är möjligt? Aja, tack för hjälpen.

RAgnar1337 skrev:

I uppgiften ska man bestämma rotationskroppen som bildas i ett område som begränsas av kurvorna; $y_1=3$, $y_2=\sqrt{x}$

samt y-axeln, men jag får fel när jag försöker lösa uppgiften. Så här har jag tänkt:

Området gränser blir y-axeln (x=0) och där y1 och y2 träffar varandra, vilket blir x=9

För att beräkna rotationskroppen använder jag mig av: $\pi {\int }_0^9 {(3-\sqrt{x })}^{2 } dx$

Jag förenklar uttrycket till  $9-6\sqrt{x}+x$dx = $9x-4x^{3/2}+\frac{x^2}{2}$

Sedan stoppar jag in 9 (x=0 ger 0, därför hoppar jag över det), vilket ger mig 81-108+40.5=13,5. Sedan multiplicerar jag med pi som ger mig $\approx 42,4$v.e

Detta är fel. Facit säger att det är 127 v.e. Vad gör jag fel? 

Som vanligt: Rita! Skall figuren rotera runt x-axeln eller y-axeln? Jag kan inte se att du har skrivit det i uppgiften.

RAgnar1337. Fundera lite på varför det blir matematiskt fel att köra det i ett svep, du inser det nog ganska snart när du jämför delstegen i din ursprungliga uträkning jämfört med delstegen i den korrekta uträkningen. Flera av termerna i delstegen kan du identifiera som lika i de två uträkningarna. 

Det går alldeles utmärkt att köra i ett svep, bara man har koll på hur volymelementet ser ut.

Arean är en cirkelskiva med fast yttre radie $r_1=3$ och ett hål i mitten vars radie beror av $x$ enligt $r_2=\sqrt{x}$.

Arean vid position $x$ är då alltså

$A=\pi (r_1)^2-\pi (r_2)^2=$

$=\pi (3^2-\sqrt{x}^2)=\pi (9-x)$.

Volymelementet blir därför $dV=A dx=\pi (9-x) dx$

Yngve. RAgnar1337’s definition på vad ”ett svep” är, funkar inte. Din definition på ”ett svep” funkar naturligtvis.

Förlåt, jag angav inte tydligt att jag besvarade frågan från RAgnar1337 om huruvida det var möjligt att köra allt i ett svep.

Ingen fara. Det viktiga är att han förstår varför de olika uträkningarna blir olika, Pga att det inte är ett linjärt beroende mellan radien och arean på rotationsskivan.

trevlig helg