Bestäm rotationskroppens volym

y är höjden i det gråmarkerade området. Hur kan du beskriva det? (y beror på x)

emilg skrev:

y är höjden i det gråmarkerade området. Hur kan du beskriva det? (y beror på x)

Blir det då y=($\sqrt[]{x}$- $\frac{x}{4}$)?

(Fel av mig)

emilg skrev:

Ja, bra! :)

Tack!

emilg skrev:

Ja, bra! :)

Om y=($\sqrt{x}-\frac{x}{4}$) blir y^2 då (x - $\frac{x^2}{16}$)?

Vad skulle då den primitiva funktionen till $\frac{x^2}{16}$bli? Jag får det till $\frac{x^3}{3} / 16x$

Men det känns konstigt

Elisabeina skrev:

emilg skrev:

Ja, bra! :)

Om y=($\sqrt{x}-\frac{x}{4}$) blir y^2 då (x - $\frac{x^2}{16}$)?

Vad skulle då den primitiva funktionen till $\frac{x^2}{16}$bli? Jag får det till $\frac{x^3}{3} / 16x$

Men det känns konstigt

Nej, du måste kvadrera hela uttrycket (det är inte samma sak som att kvadrera termerna var för sig!)

Använd att $(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2$

Hej!

Jag håller inte med er!

Volymen i det fallet kan räknas så här

${\int }_a^b\pi (y_2^2-y_1^2)dx$

$$\begin{gathered} y_2 är den övre grafen och y_1 är nedre grafen \\ {y}_2 =\sqrt{x} y_2^2=x \\ {y}_1=\frac{x}{4} y_1^2 =\frac{x^2}{16} \end{gathered}$$

Volymen blir då 

${\int }_a^b\pi (x-\frac{x^2}{16})dx$

Mvh

emilg skrev:

Elisabeina skrev:

Visa föregående citat

emilg skrev:

Ja, bra! :)

Om y=($\sqrt{x}-\frac{x}{4}$) blir y^2 då (x - $\frac{x^2}{16}$)?

Vad skulle då den primitiva funktionen till $\frac{x^2}{16}$bli? Jag får det till $\frac{x^3}{3} / 16x$

Men det känns konstigt

Nej, du måste kvadrera hela uttrycket (det är inte samma sak som att kvadrera termerna var för sig!)

Använd att $(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2$

Blir det i sådana fall  $x-2\sqrt{x}\frac{x}{4}+\frac{x^2}{16}$? Hur får jag ut den primitiva funktionen av detta?

Som fortsättning

För att räkna ut a och b

$$\begin{gathered} \sqrt{x} =\frac{x}{4} \\ x =\frac{x^2}{16} \\ 16x=x^2 \\ {x}^2 - 16x =0 \\ x(x-16) =0 \end{gathered}$$

x=0   och x = 16   

$$\begin{gathered} Volymen =V={\int }_0^{16}\pi (x-\frac{x^2}{16})dx = \pi {\int }_0^{16}(x-\frac{x^2}{16})dx \\ intgralen på x är \frac{x^2}{2} \\ integralen på \frac{x^2}{16} är \frac{x^3}{3*16} =\frac{x^3}{48} \end{gathered}$$

Elisabeina skrev:

emilg skrev:

Visa föregående citat

Elisabeina skrev:

emilg skrev:

Ja, bra! :)

Om y=($\sqrt{x}-\frac{x}{4}$) blir y^2 då (x - $\frac{x^2}{16}$)?

Vad skulle då den primitiva funktionen till $\frac{x^2}{16}$bli? Jag får det till $\frac{x^3}{3} / 16x$

Men det känns konstigt

Nej, du måste kvadrera hela uttrycket (det är inte samma sak som att kvadrera termerna var för sig!)

Använd att $(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2$

Blir det i sådana fall  $x-2\sqrt{x}\frac{x}{4}+\frac{x^2}{16}$? Hur får jag ut den primitiva funktionen av detta?

Ja. Det går att ta primitiv funktion på termerna var för sig. Integrationsgränserna är 0 -> 4.

Elisabeina skrev:

emilg skrev:

y är höjden i det gråmarkerade området. Hur kan du beskriva det? (y beror på x)

Blir det då y=($\sqrt[]{x}$- $\frac{x}{4}$)?

Det stämmer inte.

Det ni räknar ut är volymen om man skulle trycka ner figuren så att den vita triangeln vid x-axeln försvann. Som Mohammad säger ska man räkna ut rotationsvolymerna för de två kurvorna var för sig och sedan subtrahera.

Mohammad Abdalla skrev:

Elisabeina skrev:

Visa föregående citat

emilg skrev:

y är höjden i det gråmarkerade området. Hur kan du beskriva det? (y beror på x)

Blir det då y=($\sqrt[]{x}$- $\frac{x}{4}$)?

Det stämmer inte.

.

Laguna skrev:

Det ni räknar ut är volymen om man skulle trycka ner figuren så att den vita triangeln vid x-axeln försvann. Som Mohammad säger ska man räkna ut rotationsvolymerna för de två kurvorna var för sig och sedan subtrahera.

Oops. Det stämmer. 

Mohammad Abdalla skrev:

Som fortsättning

För att räkna ut a och b

$$\begin{gathered} \sqrt{x} =\frac{x}{4} \\ x =\frac{x^2}{16} \\ 16x=x^2 \\ {x}^2 - 16x =0 \\ x(x-16) =0 \end{gathered}$$

x=0   och x = 16   

$$\begin{gathered} Volymen =V={\int }_0^{16}\pi (x-\frac{x^2}{16})dx = \pi {\int }_0^{16}(x-\frac{x^2}{16})dx \\ intgralen på x är \frac{x^2}{2} \\ integralen på \frac{x^2}{16} är \frac{x^3}{3*16} =\frac{x^3}{48} \end{gathered}$$

Varför blir din övre integrationsgräns 16 när det står i uppgiften att den är 4?

Elisabeina skrev:

Mohammad Abdalla skrev:

Som fortsättning

För att räkna ut a och b

$$\begin{gathered} \sqrt{x} =\frac{x}{4} \\ x =\frac{x^2}{16} \\ 16x=x^2 \\ {x}^2 - 16x =0 \\ x(x-16) =0 \end{gathered}$$

x=0   och x = 16   

$$\begin{gathered} Volymen =V={\int }_0^{16}\pi (x-\frac{x^2}{16})dx = \pi {\int }_0^{16}(x-\frac{x^2}{16})dx \\ intgralen på x är \frac{x^2}{2} \\ integralen på \frac{x^2}{16} är \frac{x^3}{3*16} =\frac{x^3}{48} \end{gathered}$$

Varför blir din övre integrationsgräns 16 när det står i uppgiften att den är 4?

Det ska vara 4. Jag har inte läst uppgiften noga