Bestäm real-och imaginärdelarna

Hej, kan någon hjälpa mig med följande två uppgifter:

Bestäm real och imaginärdel av följande funktioner

a) f(x)= $\frac{1 + i x}{1 - i x}$

b) f(x) = $e^{(- 1 + i) x}$

i a uppgiften började jag med att multiplicera med konjugatet till nämnaren och fick $\frac{(1 + i x) (1 + i x)}{(1 - i x) (1 + i x)} = \frac{(1 + 2 i x + i^{2} x^{2})}{1 - i^{2} x^{2}}$

eftersom $i^{2} = - 1$ får vi då $\frac{1 + 2 i x - x^{2}}{1 + x^{2}}$ här ser jag att vi har $\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ som är skilt från i och är alltså realdelen men sedan står det att svaret blir $\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}, \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

alltså att imaginärdelen blir $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ och det förstår jag inte riktigt.

Imaginärdelen är koefficienten för i, så det är precis den du har fått fram.

ja täljaren är jag med på att den ska bli 2x men varför har man $1 + x^{2}$ i nämnaren då ingen av dom är imaginära?

$\frac{2x}{1+x^2}i$ står det ju.

okej då förstår jag nu.

I b uppgiften ser jag att svaret ska bli $e^{- x} \cos x, e^{- x} \sin x$

Från början har vi alltså att $e^{(- 1 + i) x}$ -1 representerar väl cosinus värdet och i sinus värdet men varför får vi -x i både cos och sin? vi har ju negativt cosinus men positive sinus i potensen?

Om du skriver om det som $e^{- x} e^{i x}$ , ser du då varför det blir så?

okej med Eulers formel får jag då ut $e^{i x}$ som $e^{i x} = \cos x + i \sin x \Rightarrow \sin x = \frac{e^{i x} - e^{i x}}{2 i}, \cos x = \frac{e^{i x} + e^{i x}}{2}$

Det du skrev innan implikationspilen är användbart (det du skrev efteråt är också sant, men inte användbart för den här uppgiften).

Om du alltså vet att $f (x) = e^{(- 1 + i) x} = e^{- x} e^{i x}$ och att $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ . Vad blir då f(x) skrivet med cos och sin?

jag har ju att $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ samt $e^{- i x} = \cos x - i \sin x$ men i mitt fall har jag ju inte $e^{- i x}$ utan bara $e^{- x}$ så jag är inte riktigt med på skillnaden då vi saknar i framför x i det fallet.

Vad är $e^{- x} (\cos x + i \sin x)$ om du multiplicerat in absolutbeloppet i parentesen? Då får du f(x) på formen a + bi. Det som står alldeles framför "i" är imaginärdelen av f(x) d v s det som motsvarar b.

Svara

Visa senaste svar