Bestäm rätblockets minsta begränsningsarea

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Börja med att införa obekanta storheter för de ingående längderna.

Kalla t.ex. bottenytans sidlängd för x och rätblockets höjd för y.

Eftersom du känner till volymen så kan du nu formulera ett samband mellan x och y.

Sätt upp ett uttryck för begränsningsarean A som endast beror av x (eller y).

Försök att minimera detta uttryck.

Visa dina försök.

Välkommen till Pluggakuten!

Det står i uppgiften att rätblocket skall ha en kvadratisk basyta. Kalla basytans sida för x (dm). Kalla rätblockets höjd för h (dm). Hur stor är rätblockets totala begränsningsyta A (dm²)? Det är denna area som skall bli så liten som möjligt. Problemet är "bara" att du har två olika variabler, x och h.

Men du vet ju att rätblockets volym skall vara 10 dm³!  Detta gör att du kan få fram ett samband mellan h och x, d v s du kan skriva h som en funktion av x. Sätt in detta värde i ditt uttryck för A, så får du en funktion som bara beror på sidlängden x. Derivera detta uttryck och sätt derivatan lika med 0.

Behöver du mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen.

Här har jag försökt att göra det du beskrev, men jag känner mig osäker?

Jag kommer inte så mycket längre än så här...

Jättebra, du är klar.

Eventuellt kan du slå $x=^3\sqrt{10}$ på räknaren. Vilken enhet får sidan x?

Ditt första försök var inte rätt  men ditt andra är rätt.

Men du är inte riktigt klar ännu.

Vad blir ditt svar på frågan?

Utökning - vad drar du för slutsats angående rätblockets form?

Svaret på frågan blir alltså att rätblockets dimensioner är ca 2,2 dm och 4,6 dm. Dvs. att x~2,2dm och y~4,6dm.

Rätblockets form kommer alltså då att bli ungefär såsom jag illustrerat ovan.

Tack så mycket för all hjälp!

Nääääää! Du har ju skrivit på ditt papper

$y=\frac{10}{x^2}$

Vad får du om du sätter in $x=^3\sqrt{10} \approx2.15$?

Tänk på att basytan gånger höjden ska vara lika med 10 dm³

Om jag tar x=2,15 så blir y=2,16 (jag måste ha räknat fel tidigare). Om man multiplicerar y med x² blir det 9,98, dvs. nästan 10, vilket måste vara rätt.

Ja, den minsta begränsningsytan uppstår när rätblocket är helt symmetriskt, dvs då alla sidor är exakt lika långa.

Något annat vore konstigt. Varför skulle en sida vara viktigare eller finare än någon annan när man minimerar begränsningsytan? 

Det är faktiskt en så kraftfull tanke att du redan på förhand hade kunnat avgöra att ett extremvärde, om det existerar, måste infinna sig då rätblocket bildar en kub, av symmetriskäl.

Det är också bra om du skriver något om varför du anser att extremvärdet du hittat är just ett minimum.