Bestäm r med tangent

Medelpunkten för cirkeln är (0,2). Kan du rita bild med cirkel och linjen y=x+1?

Att rita en bild är en jättebra ide och något jag också rekommenderar.
Resten av mitt svar handlar däremot bara om du ville lösa uppgiften algebraiskt.

Om den första linjen $y_1 =\hspace{0.17em}x +1$ är en tangent till cirkeln
så måste det finnas en annan linje, $y_2 =\hspace{0.17em}kx +m$,
från cirkelns medelpunkt ut till punkten där cirkeln möter linje $y_1$.
I den punkten måste linjen $y_2$ vara vinkelrät mot linjen $y_1$.
Det betyder att vi kan använda reglerna för vinkelräta linjer för att räkna ut $k$.
Eftersom cirkelns medelpunkt $\left(0,2\right)$ måste ligga på linjen $y_2$
kan vi sätta in de värdena för $x$ och $y$ och räkna ut $m$.

Du har nu två räta linjer som möts i samma punkt som cirkeln möter tangenten.
Hitta den punkten och räkna ut avståndet mellan den och cirkelns medelpunkt.
Det är radien $r$. 

Jag vet inte.

Kom fram till följande:

Trinity2 skrev:

Medelpunkten för cirkeln är (0,2). Kan du rita bild med cirkel och linjen y=x+1?

Och en bild också.. eller graf, då. Svaret i föregående post verkar halft rimligt iaf.. om något är rätt vill säga då.

Ah, ja, det har blivit fel värde på miniräknaren eller någonting. Huvudsaken är att processen var korrekt, även om svaret var fel.

😅

Tack. Det var en givande uppgift i varje fall.

Fast kanske ska kolla facit först innan man blir alldeles för glad av det, kikar imorgon.

I den här uppgiften kan man se svaret genom en blick på din figur.
Du har ritat in en likbent, rätvinklig triangel med basvinklarna 45^o.
I en sådan är hypotenusan, här = 1, kateten gånger $\sqrt{2}$.
Så kateten, den sökta sträckan, är 1/$\sqrt{2}$.

Fast hade den givna linjen inte haft k=1 hade det inte varit så enkelt,
så den generella lösningen är motiverad.

Det finns ett annat sätt att lösa den algebraiskt,

Bestäm tangeringspunkten genom att sätt in y = x+1 i cirkelns ekvation, då får man

x²+(x+1-2)² = r²

Lös andragradaren med avseende på x

Eftersom linjen är en tangent så finns det bara en lösning, diskriminanten (det under rottecknet i pq formeln) måste alltså vara 0, vilket ger en enkel ekvation för r.

Jag får

$x= \frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{r^2}{2}}$

och med r² = 1/2 blir diskriminanten = 0

Bra förslag! Fin lösning, tycker jag. Ska komma ihåg det.

Det här måste förresten vara en av de absolut mest värdefulla idéerna i matematiken, kartesiska koordinatsystemet alltså. Otroligt användbart. 

Såg att Euler levde efter Descartes där. Alla/allt bygger på varandra hela tiden.