Bestäm punkten P på ellipsoiden E

gradienten är vinkelrät mot ytan

henrikus skrev:

gradienten är vinkelrät mot ytan

Gradienten är vilken? Ska vi alltså derivera Ellipsoidens ekvation eller tangentplanet till E ?

Gradienten av ellipsoiden.

henrikus skrev:

Gradienten av ellipsoiden.

Okej , jag får partialderivatorna 2x,2y och 6z nu.

Rätt!

Och hur ska du använda det för att hitta punkten P?

henrikus skrev:

Rätt!

Och hur ska du använda det för att hitta punkten P?

Hm jag vet faktiskt ej. Antar att man ska derivera tangentplanet och sätta in det i partialderivatorna för att på så sätt få punkten?

Tangentplanet skall tangera ellipsoiden. En normal till tangentplanet är då parallell med gradienten.

Dvs (2x, 2y, 6z) = $\lambda$(2, 1, -3).

Du kan lösa ut x, y, z i termer av lambda och sätta in i ekvationen för ellipsoiden. Det ger möjliga tangentpunkter. Sedan får du kolla om någon av dessa punkter ligger i det givna tangentplanet.

PATENTERAMERA skrev:

Tangentplanet skall tangera ellipsoiden. En normal till tangentplanet är då parallell med gradienten.

Dvs (2x, 2y, 6z) = $\lambda$(2, 1, -3).

Du kan lösa ut x, y, z i termer av lambda och sätta in i ekvationen för ellipsoiden. Det ger möjliga tangentpunkter. Sedan får du kolla om någon av dessa punkter ligger i det givna tangentplanet.

Jag är ej med på uppställningen och varför du sätter lambda framför (2,1,-3)??

Gradienten skall vara parallell med vektorn (2, 1, -3) som är en normal till tangentplanet.

En vektor u är parallell med en vektor v om u = $\lambda$v för någon skalär $\lambda$.

PATENTERAMERA skrev:

Gradienten skall vara parallell med vektorn (2, 1, -3) som är en normal till tangentplanet.

En vektor u är parallell med en vektor v om u = $\lambda$v för någon skalär $\lambda$.

Ah okej

PATENTERAMERA skrev:

Tangentplanet skall tangera ellipsoiden. En normal till tangentplanet är då parallell med gradienten.

Dvs (2x, 2y, 6z) = $\lambda$(2, 1, -3).

Du kan lösa ut x, y, z i termer av lambda och sätta in i ekvationen för ellipsoiden. Det ger möjliga tangentpunkter. Sedan får du kolla om någon av dessa punkter ligger i det givna tangentplanet.

Hur kollae man om dessa punkter ligger i angivna tangentplanet?

Om du har ekvationen för ett plan, hur kollar du då om en punkt ligger i planet?

Vi ser att 

x = $\lambda$

y = $\frac{\lambda }{2}$

z = $-\frac{\lambda }{2}$.

Vi sätter detta i ekvationen för ellipsoiden och löser ut lambda. Det ger

$\lambda =\pm 2$.

Dvs vi har nu två kandidater

(x, y, z) = (2, 1, -1) och (x, y, z) = (-2, -1, 1).

Sedan får du kolla vilket alternativ som uppfyller planets ekvation

2x + y - 3z = 8.