Bestäm produkten av alla sinusvärden för hela gradtal mellan 0° och 180°

Produkten kan skrivas

    $\displaystyle(\prod\limits_{k=1}^{89}\sin\frac{k\pi}{180})^2$.

sin(1^o)=cos(89^o)
sin(2^o)=cos(88^o)
sin(3^o)=cos(87^o)
sin(4^o)=cos(86^o)
och så vidare.

På detta sätt kan vi kombinera ihop produkterna till

$\prod _{k=1}^{89}\sin \frac{k\mathrm{\pi }}{180}\cos \frac{{\displaystyle k\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 180}}=\prod _{k=1}^{89}\sin \frac{{\displaystyle 2k\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 180}}=\frac{1}{2}\prod _{k=1}^{89}\sin \frac{{\displaystyle k\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 90}}$

$\displaystyle \prod_{i=1}^{179} \sin (\frac{i\pi}{180}) = \frac{180}{2^{179}}=\frac{45}{2^{177}}$

Använder vi Albikis idé en gång till får vi att $\frac{1}{2^{89}}\underset{k=1}{\overset{89}{\prod \sin }}\frac{k\mathrm{\pi }}{45}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2^{89}}}\underset{k=1}{\overset{44}{\left(\right(\prod \sin }}\frac{{\displaystyle k\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 45}}{)}^2+1)$, eftersom den mittersta termen inte har någon att para ihop sig med och sin 90^o=1.

Använder jag min idé igen får jag att ${\left(\prod _{k=1}^{44}\sin \frac{k\mathrm{\pi }}{45}\right)}^2=\underset{k=1}{\overset{22}{\prod \frac{1}{2}}}·\sin \frac{k\mathrm{\pi }}{22,5}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2^{44}}}\prod _{k=1}^{22}\sin \frac{{\displaystyle k\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 22,5}}$

Sammanlagt har vi då $\frac{1}{2^{89}}(\frac{1}{2^{44}}\prod _{k=1}^{22}\sin \frac{k\mathrm{\pi }}{22,5}+1)$

Nästa "varv" på endast produkten ger $\frac{1}{2^{22}}\prod _{k=1}^{11}\sin \frac{k\mathrm{\pi }}{11,25}$ eftersom det är ett jämnt antal termer, alltså totalt $\frac{1}{2^{89}}(\frac{1}{2^{44}}·\frac{1}{2^{22}}\prod _{k=1}^{11}\sin \frac{k\mathrm{\pi }}{11,25}+1)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2^{89}}}(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2^{66}}}\prod _{k=1}^{11}\sin \frac{{\displaystyle k\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 11,25}}+1)$

Sedan fungerar det inte lika snyggt, eftersom 6/11,25 inte blir 0,5.

Det blir 44 i nämnaren, inte 45, och gånger ½, inte +1.

Min ansats var att definiera $z = \cos(2\pi/360) + i \sin(2\pi / 360)$ dvs så $z^{360} = 1$ och använda 

$\sin(k^\circ) = \frac{z^k - z^{360 - k}}{2i}$

vilket ger mig några intressanta kompakta former. 

$P = \prod_{k = 1}^{179} \sin(k^\circ) = \prod_{k = 1}^{179} \frac{z^k - z^{360 - k}}{2i}$

varifrån jag bryter ut $z^k$ ur varje faktor, vartefter deras produkr blir $-i$ vilket tar ut $i$:na från sinusnämnarna och jag landar i

$P = \frac{1}{2^{179}}\prod_{k = 1}^{179} (1 - z^{2k})$

Vilket jag kan manipulera på lite olika intressanta vis. Exempelvis kan vi göra omskrivningen 

$P = \frac{1}{2^{179}}z^{180}\prod_{k = 1}^{89}(1 - z^{2k})(1 - z^{180 + 2k})$

och utnyttja att $z^{180} = -1$ för att få till $(1 - z^{2k})(1 - z^{180 + 2k} = (1 - z^{2k})(1 + z^{2k})$ vilket ger

$P = \frac{(-1)}{2^{179}}\prod_{k = 1}^{89} (1 - z^{4k})$

Vilket kan upprepas en andra gång för att få 

$P = \frac{1}{2^{179}}\prod_{k = 1}^{44}(1 - z^{8k})$

Men därefter fastnar jag eftersom jag avverkat de tre 2-faktorerna i 180 och inte längre kan använda detta trick. Även om jag kunde fortsätta reducera antalet faktorer så är jag fundersam hur produkten ska bli 180 i slutändan. 

Att det finns ett slarv i något steg skulle eg. vara förlösande. 

Eulers formel ger:

$\sin\left(x\right)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-\dfrac{i}{2}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=\dfrac{i}{2}\left(e^{-ix}-e^{ix}\right)$

Insättes detta i vår produkt fås:

$\displaystyle\prod_{k=1}^{179}\sin\left(\frac{\pi k}{180}\right)=\prod_{k=1}^{179}\frac{i}{2}\left(e^{-i\frac{\pi k}{180}}-e^{i\frac{\pi k}{180}}\right)$

Om vi nu bryter ut $e^{-i\frac{\pi k}{180}}$ ur parentesen erhålls:

$\displaystyle=\prod_{k=1}^{179}\frac{i\cdot e^{-i\frac{\pi k}{180}}}{2}\left(1-e^{i\frac{2\pi k}{180}}\right)=\left(\frac{i}{2}\right)^{179}\prod_{k=1}^{179}e^{-i\frac{\pi k}{180}}\left(1-e^{i\frac{2\pi k}{180}}\right)=$

$\displaystyle=\frac{-i}{2^{179}}\underbrace{\prod_{k=1}^{179}e^{-i\frac{\pi k}{180}}}_{\Pi_1}\underbrace{\prod_{k=1}^{179}1-e^{i\frac{2\pi k}{180}}}_{\Pi_2}$

Nu har vi två produkter, $\Pi_1$ och $\Pi_2$ att ta itu med. $\Pi_1$ kan bestämmas genom att studera dess logaritm:

$\displaystyle\ln\left(\Pi_1\right)=\ln(\prod_{k=1}^{179}e^{-i\frac{\pi k}{180}})=\sum_{k=1}^{179}\ln\left(e^{-i\frac{\pi k}{180}}\right)=$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{179}-i\frac{\pi k}{180}=-i\frac{\pi}{180}\sum_{k=1}^{179}k=-i\frac{\pi}{180}\cdot\frac{180\cdot 179}{2}=\frac{-i\cdot179\pi}{2}$

$\Pi_1$ blir då:

$\Pi_1=e^{\frac{-i\cdot179\pi}{2}}=(e^{-i\frac{\pi}{2}})^{179}=\left(-i\right)^{179}=i$

För att beräkna $\Pi_2$ kan vi studera nollställena till polynomet $z^{180}-1$. Dessa kan skrivas:

$z_1=1$

$z_2=e^{i\frac{2\pi}{180}}$

$z_3=e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}}$

$...$

$z_{180}=e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}}$

Detta ger följande faktorisering:

$z^{180}-1=\left(z-1\right)(z-e^{i\frac{2\pi}{180}})(z-e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}})...(z-e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}})$

Divideras nu båda led med $(z-1)$ fås:

$\dfrac{z^{180}-1}{z-1}=\left(z-e^{i\frac{2\pi}{180}}\right)\left(z-e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}}\right)...\left(z-e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}}\right)$

Den generaliserade konjugatregeln ger att:

$z^{179}+z^{178}+...+z+1=\left(z-e^{i\frac{2\pi}{180}}\right)\left(z-e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}}\right)...\left(z-e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}}\right)$

Insättning av $z=1$ ger sedan $\Pi_2$

$\underbrace{1+1+...+1+1}_{180\ \text{g}\stackrel{\circ}{\text{a}}\text{nger}}=\left(1-e^{i\frac{2\pi}{180}}\right)\left(1-e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}}\right)...\left(1-e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}}\right)$

$180=\Pi_2$

Nu kan vi bestämma vår ursprungliga produkt:

$\displaystyle\prod_{k=1}^{179}\sin\left(\frac{\pi k}{180}\right)=\frac{-i}{2^{179}}\cdot\Pi_1\cdot\Pi_2=\frac{-i}{2^{179}}\cdot i\cdot 180=\dfrac{180}{2^{179}}=\dfrac{45}{2^{177}}$

På liknande sätt kan även härledas att:

$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}$

för alla $n\in\mathbb{N}$.