Bestäm produkten

borde inte produkten bli $$₁x×x2=p-3×-15=p⇔p=45

Jag föreslår att du kallar 

x²+18x+45 för t och får då

$t-15=2\sqrt{t}$

sen löser du först ut t, därefter x

Ture skrev:

Jag föreslår att du kallar 

x²+18x+45 för t och får då

$t-15=2\sqrt{t}$

sen löser du först ut t, därefter x

Blir det så här:

$$\begin{gathered} t=x^2+18x+45 \\ \iff t-15=2\sqrt{t} \\ {\left(t-15\right)}^2={\left(2\sqrt{t}\right)}^2 \\ \iff t^2-30t+225=4t^2 \\ \iff -3t^3-30t+225=0 \\ \iff t^2+10t-\frac{225}{3}=0 \\ t=-5\pm \sqrt{25+\frac{225}{3}} \\ \iff t=-5\pm \sqrt{\frac{300}{3}} \leftrightarrow t=-5\pm \frac{10\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

?

Arup skrev:

Ture skrev:

Jag föreslår att du kallar 

x²+18x+45 för t och får då

$t-15=2\sqrt{t}$

sen löser du först ut t, därefter x

Blir det så här:

$$\begin{gathered} t=x^2+18x+45 \\ \iff t-15=2\sqrt{t} \\ {\left(t-15\right)}^2={\left(2\sqrt{t}\right)}^2 \\ \iff t^2-30t+225=4t^2 \\ \iff -3t^3-30t+225=0 \\ \iff t^2+10t-\frac{225}{3}=0 \\ t=-5\pm \sqrt{25+\frac{225}{3}} \\ \iff t=-5\pm \sqrt{\frac{300}{3}} \leftrightarrow t=-5\pm \frac{10\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

 

?

till och med tredje raden gör du rätt.,

När du kvadrerar 2$\sqrt{t}$

ska du få 4t, inte 4t²

jag använder väl "pq" formeln ?

Du kanske inte läste mitt förra inlägg eftere det att jag justerade det.

Du gör fel när du kvadrerar högerledet

${\left(2\sqrt{t}\right)}^2= 4t$

Du har fått det till 4t²

oj, fel av mig

Gör som Ture säger, men när du fått t, så kan du direkt säga vad svaret är utan att lösa x-ekvationen genom att se på ekvationens koefficienter.

Trinity2 skrev:

Gör som Ture säger, men när du fått t, så kan du direkt säga vad svaret är utan att lösa x-ekvationen genom att se på ekvationens koefficienter.

Jag förstår inte hur du menar-

Räkna ut t först så kan vi fortsätta därifrån.

Det här är min tolkning:

roten ur 64 =/= 4

Du måste, dels räkna rätt som Trinity2 påpekade, dels testa att bägge rötterna (när du räknat ut y) är giltiga.

Tänk på att du kvadrerat ekvationen och därmed riskerar att få med falska rötter.

Kan någon markera var jag gjorde fel ?

Arup skrev:

Kan någon markera var jag gjorde fel ?

Jag har gjort på ett litet annat sätt, men tyvärr så funkar det ej för mig

Här är det (tecken)fel

oj, slarvfel

men jag ser ändå om jag rättar slarvetcknet till hur jag kommer få samma svar som facit

Så vad får du för värde på y?

jag får det till $y_1=25 o y_2=9$

Jo det är rätt så långt,

Men bägge rötterna är kanske inte giltiga, sätt in i din ekvation och testa ! (Kvadrering kan ge falska rötter)

y-15 =2$\sqrt{y}$

När du fastställt vad y är kan du fundera på hur du ska få fram svaret

det gäller ju att  y = x²+18x+45

Ture skrev:

Jo det är rätt så långt,

Men bägge rötterna är kanske inte giltiga, sätt in i din ekvation och testa ! (Kvadrering kan ge falska rötter)

Kan man inte bara ersätta 9=$x^2+45x+18$och $25=x^2+18x+45$

y-15 =2$\sqrt{y}$

När du fastställt vad y är kan du fundera på hur du ska få fram svaret

det gäller ju att  y = x²+18x+45

Eller hur menar du ?

y-15 =2$\sqrt{y}$

VAd får du om du sätter in y=25 i ovanstående ekvation, blir VL = HL?

Vad får du om du sätter in y=9 i ovanstående ekvation, blir VL = HL?

får jag inte $$\begin{gathered} 25-15=2\sqrt{25} \\ 10=10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 9-15=2\sqrt{9} \\ -6\ne 2\times 3 \\ däremot \\ -6=2\times -3 \end{gathered}$$

Arup skrev:

får jag inte $$\begin{gathered} 25-15=2\sqrt{25} \\ 10=10 \end{gathered}$$

Ja, så y = 25 är ok! 

Arup skrev:

$$\begin{gathered} 9-15=2\sqrt{9} \\ -6\ne 2\times 3 \\ däremot \\ -6=2\times -3 \end{gathered}$$

 

Alltså är y = 9 en falsk rot.

Då fokuserar du på y = 25

vad gör man sen ?

Kommer du ihåg vad du menade med y? Om du inte kommer ihåg, läs inlägg #12.

vad är det som är så speciellt med #12 ?

Där står det vad du menar med y (det kan stå på fler ställen, #12 var där jag hittade det).

hur får jag fram produkten 

är det inte att jag multilicerar både nollställena ?

Löst det!

Nu ser vi det som Trinity2 menade i inlägg #9: den produkten är konstanttermen (q) i x-ekvationen.

Jag det stämmer för enligt Vietes formel gäller:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-p\\ x_1\times x_2=q\end{array}\right.$

Jag har dock inget bevis för formeln

Arup skrev:

Jag har dock inget bevis för formeln

Den kan du bevisa med hjälp av pq-formeln. Lös ekvationen x²+px+q = 0. Addera rötterna och förenkla. Multiplicera ihop rötterna och förenkla.

Instämmer men jag undrar om det finns något finare bevis som kräver mer algebra

En matematiker vill aldrig krångla till saker i onödan. Däremot kan det vara möjligt att man behöver göra något komplicerat för att kunna komma vidare i en viss situation. Ett bevis är definitivt inte bättre eller finare för att det krävs mer algebra, snarare tvärtom.

Är det här en bra lösning ?

Arup skrev:

Instämmer men jag undrar om det finns något finare bevis som kräver mer algebra

Smaragdalenas förslag är ju ren algebra.

Arup skrev:

Är det här en bra lösning ?

Ja, men byt ut de markerade pilarna mot likhetstecken.

Varför det om jag får fråga

Dubbelpilen betyder "medför" eller "leder till".

Likhetstecken betyder "är lika med".

I det här sammanhanget passar "är lika med" bättre eftersom det ju är så tanken med uträkningen är.

jag trodde det betydde "om och endast om" 

Enkelpilen betyder medför, eller "om ..., så...". Den kan peka åt höger eller åt vänster (och det ör olika). Dubbelpilen betyder "om och endast om". Det är en sammansättning av högerpil och vänsterpil.

Arup skrev:

jag trodde det betydde "om och endast om" 

Vilken symbol trodde du betydde "om och endast om"?

enkel pilen

vilken pil ska man använda här t ex : 76+x=2 $\leftrightarrow x=-74$

eller $\to x=-74$

Här kan du använda dubbelpilen. Om vänsterledet är sant, så är högerledet sant, och om högerledet är sant så är vänsterledet sant.

Tack. Nu tror jag att jag förstår bättre. Men, hur skulle ett exempel med enkel pil lyda ?

x = 2 => x² = 4. Här funkar det inte "baklänges" - om x² = 4 kan det ju även vara så att x = -2.