Bestäm produkten
Hej
kan någon hjälpa mig med följande uppgift
Bestäm summan och produkten av samtliga rötter till ekvationen
z7+(3-i)z6+πz3+e=0
Jag tänkte först att man kanske skulle göra en variabelsubstitution och sätta w=z3 men i så fall blir den första termen z^7 lite konstig. För övriga termer borde det fungera (3-i)z2+πz+e=0
Är det verkligen en sjua? Kan det vara en nia?
Konstanttermen i ekvationen talar om att rötternas produkt är -e. Om rötterna är z1,...,z7 kan ju polynomet skrivas (z-z1)(z-z2)...(z-z7) och multiplicerar man ihop blir konstanttermen -z1*z2*...*z7.
Bubo skrev :Är det verkligen en sjua? Kan det vara en nia?
ja det ska vara en sjua
så ekvationen kan vi nu skriva om till z7+(3-i)z6+πz3=-e
så då har vi alltså kommit fram till produkten som i facit är -e. Är det alltså för att det är den enda term skilt från z?
kvar är då att komma fram till summan som ska bli -3+i
Det finns ett annat samband mellan summan av rötterna och en av koefficienterna.
Du kan t.ex kolla hur det blir för andragrads-och tredjegradspolynom och se om du hittar ett mönster som kan generaliseras till högre ordningar.
ja jag ser ju att vi har (3-i) i ursprungsekvationen och summan blir -3+i så det är ju omvänt tecken från parentesen i ursprungsekvationen.