bestäm primitiver

Hej

jag tror att jag har gjort som man ska för att lösa uppgiften men får ändå inte rätt.

Bestäm alla primitiva funktioner till :

$\frac{\cos x}{\sin x + \sin^{2} x}$

Svaret ska bli $\ln |\frac{\sin x}{1 + \sin x}| + C$ men när jag försöker lösa uppgiften får jag -2arctan(2sinx+1)+C

jag löste på följande sätt $\frac{1}{u^{2} + u} d u = \frac{1}{{(u + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}} d u$ sedan satte jag s=u+1/2 och ds=du

$\frac{1}{s^{2} - \frac{1}{4}} d s = 4 \int \frac{1}{1 - 4 s^{2}} d s$ p=2s dp=2ds

$- 2 \int \frac{1}{1 - p^{2}} = - 2 a r c \tan p + C$

$- 2 a r c \tan 2 s + c = - 2 a r c \tan (2 u + 1) + c = - 2 a r c \tan (2 \sin x (1)) + c$

Orkar inte kolla precis allt, men började från slutet och noterar att (och jag skriver inte ut C)

$\int \frac{dp}{1-p^2}=\int \frac{dp}{(1+p)(1-p)}=...=1/2\left(\ln(1+p)-\ln(1-p) \right)$

Det är inte $\arctan(p)$ utan $\arctanh(p)$ , oklart om du blandat ihop dem eller slarvat med att det ska vara $1+x^2$ i nämnaren för tan.

Hursomhelst tycker jag att du ska välja en enklare väg med en partialbråksuppdelning redan efter första substitutionen

$\int \frac{du}{u^2+u}=\int \frac{du}{u(u+1)}=\int \frac{du}{u}-\int \frac{du}{u+1}$

$\ln(u)-\ln(u+1)=\ln(\frac{u}{u+1})$

För att få en arctan som primitiv funktion ska du integrera något av typ

1/(x^2 + a^2)

I ditt fall har du ett minustecken (-a^2), vilket förändrar saker och ting.

Svara