Bestäm primitiva funktion

Inför u= x-2

$\frac{du}{dx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(x-2\right)=1\Rightarrow du=dx$

$\int {\left(x-2\right)}^{3}dx=\int u^{3}du=\frac{u^4}{4}=\frac{{\left(x-2\right)}^4}{4}$

Kontroll:

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{{\left(x-2\right)}^4}{4}\right)=4*\frac{{\left(x-2\right)}^3}{4}*\frac{\partial }{\partial x}\left(x-2\right)=4*\frac{{\left(x-2\right)}^3}{4}*1= {\left(x-2\right)}^3$

jag förstår lite bättre nu men varför ska man derivera (x-2)?  

För att se hur som dx förhåller sig till du.

Hade du/dx varit till exempel 2 så innebär det att du = 2*dx och dx = du/2, så då vi går från en integral som innehåller dx till en som innehåller du skulle vi blivit tvungna att ersätta dx med (1/2) du. I det här fallet visade de sig vara lika stora så dx kunde ersättas med du direkt.

(I ovanstående stycken utläses "du" som [de-u], ej som andra person singularis)

Exempelvis om det skulle bli 2, innebär det sen att vi multiplicerar den slutliga derivatan med 1/2?” du/dx” betyder det  du med hänsyn på dx, exakt vad menas det? 

du/dx är vad som man får om man betraktar u som en funktion utav x och deriverar med avseende på den variabeln. Eftersom det är ett förhållande som beskriver hur mycket som u förändras då x förändras så kan man betrakta det som en kvot och multiplicera/dividera med täljare och nämnare för att få fram hur som du [de-u] beror på dx.

Vi kan väl bilda oss en annan uppgift där du/dx faktiskt blir 2.

Derivera (2x-2)³

Inför u= 2x-2

$$\begin{gathered} \frac{du}{dx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(2x-2\right)=2\Rightarrow du=2*dx \\ \int {\left(2x-2\right)}^{3}dx=\left[\begin{array}{c}2x-2=u\\ dx=\frac{1}{2}du\end{array}\right]=\int u^3\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{3}du=\frac{1}{2}\frac{u^4}{4}=\frac{u^4}{8}=\frac{{\left(2x-2\right)}^4}{8} \end{gathered}$$

Kontroll:

$$\begin{gathered} \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{{\left(2x-2\right)}^4}{8}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{2^4*{\left(x-1\right)}^4}{8}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{16*{\left(x-1\right)}^4}{8}\right)= \\ \frac{\partial }{\partial x}\left(2*{\left(x-1\right)}^4\right)=2*4*{\left(x-1\right)}^3*\frac{\partial }{\partial x}\left(\left(x-1\right)\right)=8*{\left(x-1\right)}^3= \\ {2}^3*{\left(x-1\right)}^3={\left(2x-2\right)}^3 \end{gathered}$$

Tillägg: 21 nov 2022 12:44

... den skapta uppgiften var naturligtvis: "Hitta en primitiv funktion till (2x-2)³", inte "Derivera (2x-2)³". Råkade använda fel ord där.

Jag förstår nu. Tack så jättemycket!