Bestäm primitiv funktion F(x) med graf (Matematik/Matte 3/Integraler)

Att grafen till F(x) ska gå genom (1,4) betyder bara att punkten (1,4) ska uppfylla att y = F(x). Vilka är de primitiva funktionerna till f(x)?

Vet du vad en primitiv funktion är?

Vet du hur du tar fram en primitiv funktion till f(x) = 2x?

Vet du att för en given funktion f(x) finns ett oändligt antal primitiva funktioner F(x)?

Uppgiften gäller att bland alla dessa primitiva funktioner till f(x) = 2x välja ut och beskriva just den primitiva funktionen F(x) vars graf går genom punkten (1,4).

Smutstvätt skrev:
Att grafen till F(x) ska gå genom (1,4) betyder bara att punkten (1,4) ska uppfylla att y = F(x). Vilka är de primitiva funktionerna till f(x)?

Hmm osäker. Börjat med integraler precis. 1x + 4?

F(x) är en primitiv funktion till f(x) om det gäller att F'(x) = f(x), dvs om derivatan av F(x) är lika med f(x).

En primitiv funktion kallas därför ibland för "antiderivatan" till f(x).

Börja med att hitta en funktion F(x), vars derivata är lika med 2x, så hjälper vi dig vidare sen.

Yngve skrev:
F(x) är en primitiv funktion till f(x) om det gäller att F'(x) = f(x), dvs om derivatan av F(x) är lika med f(x).
En primitiv funktion kallas därför ibland för "antiderivatan" till f(x).
Börja med att hitta en funktion F(x), vars derivata är lika med 2x, så hjälper vi dig vidare sen.

Det är väl ändå x²eller?

Ja, $F(x)=x^2$ är en primitiv funktion till $f(x)=2x$ eftersom $F'(x)=f(x)$ .

Men det finns fler. Kan du komma på någon annan funktion (som liknar $x^2$ ), vars derivata även den är lika med $2x$ ?

Yngve skrev:
Ja, $F(x)=x^2$ är en primitiv funktion till $f(x)=2x$ eftersom $F'(x)=f(x)$ .
Men det finns fler. Kan du komma på någon annan funktion (som liknar $x^2$ ), vars derivata även den är lika med $2x$ ?

Näh nu står det helt still. Ingen aning

Vad är derivatan av

$x^2+3$ ?

$x^2+7$ ?

$x^2-4711$ ?

Yngve skrev:
Vad är derivatan av
$x^2+3$ ?
$x^2+7$ ?
$x^2-4711$ ?

Hur fick du de värdena?

X^2 +3 =3x^2.

X^2 +7 =7x^2

X^2 -4711 = -4711x^2

Eller? Man slår väl ihop termerna så man gjorde i en tidigare uppgift?

Hänger inte med nu

Nej du blandar ihop det.

Kan du derivera $F(x)=x^2+1$ ?

Yngve skrev:
Nej du blandar ihop det.
Kan du derivera $F(x)=x^2+1$ ?

2x + 1x

Nej det stämmer inte. Du ska derivera term för term.

Enklare exempel: Säg att du har en konstant funktion g(x) = 7.

Vad är derivatan av g(x)?

Yngve skrev:
Nej det stämmer inte. Du ska derivera term för term.
Enklare exempel: Säg att du har en konstant funktion g(x) = 7.
Vad är derivatan av g(x)?

Är nog för trött. Kopplar inte alls. 7x?

Ja du är nog för trött,

7x är en primitiv funktion till 7, inte derivatan av 7.

Avsluta för idag, läs sedan detta avsnitt som repetition av derivata, kom tillbaka och fråga om de delar i avsnittet som fortfarande är oklara så fortsätter vi senare.

Då ska du kunna derivera exempelvis $h(x)=3x^4-x^2+5x-18$ .

Du kan integrera ser det ut som, men du missar en detalj som du behöver för att lösa uppgiften.

f(x) =2x har den primitiva funktionen:

F(x) =(x^2)/2 +C

den där konstanten C är viktig för att hitta t.ex den unika primitiva funktionen med hjälp av villkor (som i den här uppgiften).

Läs igenom Yngves svar från början så förstår du ännu bättre :)

Yngve skrev:
Ja, $F(x)=x^2$ är en primitiv funktion till $f(x)=2x$ eftersom $F'(x)=f(x)$ .
Men det finns fler. Kan du komma på någon annan funktion (som liknar $x^2$ ), vars derivata även den är lika med $2x$ ?

En annan funktion som liknar x² är väl $\frac{x^{3}}{3}$

santas_little_helper skrev:
Yngve skrev:
Ja, $F(x)=x^2$ är en primitiv funktion till $f(x)=2x$ eftersom $F'(x)=f(x)$ .
Men det finns fler. Kan du komma på någon annan funktion (som liknar $x^2$ ), vars derivata även den är lika med $2x$ ?
En annan funktion som liknar x² är väl $\frac{x^{3}}{3}$

Du har f(x)=2x. En primitiv funktion till din f(x) är F(x)= x^2/2

Om jag deriverar F(x) får jag tillbaka f(x) så då vet jag att den primitiva funktionen är x^2/2

Men om jag deriverar F(x)=x^2/2 + 1, får jag också tillbaka f(x)

Om jag deriverar F(x) =x^2/2 + 4, får jag också tillbaka f(x). Förstår du vad som fattas?

Välkommen tillbaka!

Nja, den är inte så lik, och framför allt, derivatan av $x^3/3$ är inte lika med derivatan av $x^2$ .

Har du läst avsnittet jag länkade till igår, det om repetition av derivata? Har du några frågor kring det innehållet?

----------

Om du är piggare i tanken nu så backar vi tillbaka lite och jag ber dig att svara på följande frågor. På de sista två frågorna är det bra att tänka på att derivatan i en viss punkt är lika stor som grafens lutning i den punkten.

Vad är derivatan av $5x^3$ ?
Vad är derivatan av $5x^2$
Vad är derivatan av $5x$ , dvs vilken lutning har den räta linjen $y=5x$ ?
Vad är derivatan av $5$ , dvs vilken lutning har den horisontella linjen $y=5$ ?

Yngve skrev:
Välkommen tillbaka!
Nja, den är inte så lik, och framför allt, derivatan av $x^3/3$ är inte lika med derivatan av $x^2$ .
Har du läst avsnittet jag länkade till igår, det om repetition av derivata? Har du några frågor kring det innehållet?
----------
Om du är piggare i tanken nu så backar vi tillbaka lite och jag ber dig att svara på följande frågor. På de sista två frågorna är det bra att tänka på att derivatan i en viss punkt är lika stor som grafens lutning i den punkten.
Vad är derivatan av $5x^3$ ?
Vad är derivatan av $5x^2$
Vad är derivatan av $5x$ , dvs vilken lutning har den räta linjen $y=5x$ ?
Vad är derivatan av $5$ , dvs vilken lutning har den horisontella linjen $y=5$ ?

Läst den och hade lite svårt att greppa ändringskvoten. Hänger inte riktigt med söderströms svar.

santas_little_helper skrev:
Yngve skrev:
Välkommen tillbaka!
Nja, den är inte så lik, och framför allt, derivatan av $x^3/3$ är inte lika med derivatan av $x^2$ .
Har du läst avsnittet jag länkade till igår, det om repetition av derivata? Har du några frågor kring det innehållet?
----------
Om du är piggare i tanken nu så backar vi tillbaka lite och jag ber dig att svara på följande frågor. På de sista två frågorna är det bra att tänka på att derivatan i en viss punkt är lika stor som grafens lutning i den punkten.
Vad är derivatan av $5x^3$ ?
Vad är derivatan av $5x^2$
Vad är derivatan av $5x$ , dvs vilken lutning har den räta linjen $y=5x$ ?
Vad är derivatan av $5$ , dvs vilken lutning har den horisontella linjen $y=5$ ?
Läst den och hade lite svårt att greppa ändringskvoten. Hänger inte riktigt med söderströms svar.

derivatan av 5x³ är väl ändå 15x².

derivatan av 5x² är 10x.

derivatan av 5x är ju 5 sen tänkte jag även y = 5x. 5x = 0 = $\frac{0}{5}$ = 0 men det är nog fel.

derivatan av 5 är väl 0?

OK var det svårt att greppa vad en ändringskvot är? Läs isåfall detta avsnitt.

Eller var det svårt att greppa hur ändringskvoten kan användas för att beskriva en kurvas genomsnittliga lutning eller lutning i en viss punkt? Titta isåfall på de två videoklippen i slutet av avsnittet om derivata.

Yngve skrev:
OK var det svårt att greppa vad en ändringskvot är? Läs isåfall detta avsnitt.
Eller var det svårt att greppa hur ändringskvoten kan användas för att beskriva en kurvas genomsnittliga lutning eller lutning i en viss punkt? Titta isåfall på de två videoklippen i slutet av avsnittet om derivata.

hur det kan användas mer

santas_little_helper skrev:

derivatan av 5x³ är väl ändå 15x².

Ja det stämmer.

derivatan av 5x² är 10x.

Ja det stämmer.

derivatan av 5x är ju 5 sen tänkte jag även y = 5x. 5x = 0 = $\frac{0}{5}$ = 0 men det är nog fel.

Ditt första svar var rätt. Derivatan av 5x är 5. Linjen y = 5x har lutningen 5 överallt.

derivatan av 5 är väl 0?

Ja det stämmer. Linjen y = 5 har lutningen 0 överallt. Bra!

Likaså linjen y = 3, den har lutningen 0 överallt. Derivatan av 3 är alltså 0.
Likaså linjen y = 7, den har lutningen 0 överallt. Derivatan av 7 är alltså 0.
Likaså linjen y = -4711, den har lutningen 0 överallt. Derivatan av -4711 är alltså 0.
Vi kan generalisera: Derivatan av en konstant C är lika med 0.

-------

Nästa steg, vi deriverar ett uttryck som består av flera termer:

Vad är derivatan av $5x^3+3x^2$ ?

Yngve skrev:
santas_little_helper skrev:
derivatan av 5x³ är väl ändå 15x².
Ja det stämmer.
derivatan av 5x² är 10x.
Ja det stämmer.
derivatan av 5x är ju 5 sen tänkte jag även y = 5x. 5x = 0 = $\frac{0}{5}$ = 0 men det är nog fel.
Ditt första svar var rätt. Derivatan av 5x är 5. Linjen y = 5x har lutningen 5 överallt.
derivatan av 5 är väl 0?
Ja det stämmer. Linjen y = 5 har lutningen 0 överallt. Bra!
Likaså linjen y = 3, den har lutningen 0 överallt. Derivatan av 3 är alltså 0.
Likaså linjen y = 7, den har lutningen 0 överallt. Derivatan av 7 är alltså 0.
Likaså linjen y = -4711, den har lutningen 0 överallt. Derivatan av -4711 är alltså 0.
Vi kan generalisera: Derivatan av en konstant C är lika med 0.
-------
Nästa steg, vi deriverar ett uttryck som består av flera termer:
Vad är derivatan av $5x^3+3x^2$ ?

15x² + 6x

santas_little_helper skrev:

15x² + 6x

Ja! Vi kan säga att "derivatan av en summa av termer är lika med summan av derivatorna av termerna". Det var det jag menade när jag igår skrev att du skulle derivera term för term.

Det är nära nu.

---------

Sista steget:

Vad är

derivatan av $x^2+3$ ?
derivatan av $x^2+7$ ?
derivatan av $x^2-4711$ ?
derivatan av $x^2+C$ , där $C$ är en konstant?

Yngve skrev:
santas_little_helper skrev:
15x² + 6x
Ja! Vi kan säga att "derivatan av en summa av termer är lika med summan av derivatorna av termerna". Det var det jag menade när jag igår skrev att du skulle derivera term för term.
Det är nära nu.
---------
Sista steget:
Vad är
derivatan av $x^2+3$ ?
derivatan av $x^2+7$ ?
derivatan av $x^2-4711$ ?
derivatan av $x^2+C$ , där $C$ är en konstant?

1. är väl 2x

2. 2x. derivatan av 7 är noll

3. likadant här 2x.

4. 2x. Derivatan av en konstant C är lika med 0.

Ja!

Alla dessa funktioner har samma derivata, nämligen $2x$ .
Det betyder att alla dessa funktioner är primitiva funktioner till $f(x) = 2x$ .

Vi kan skriva det som att de primitiva funktionerna till $f(x) = 2x$ är $F(x) = x^2+C$ , där $C$ är en konstant.

Det finns alltså oändligt många primitiva funktioner till $f(x)=2x$ . Men endast en av dem går genom punkten (1,4).

Din uppgift är nu att ta reda på vilken av alla dessa primitiva funktioner som uppfyller det villkoret, dvs bestäm det värde på $C$ som gör att villkoret uppfylls.

Läs nu hela tråden från början till slut så kanske det trillar ner fler polletter?

Yngve skrev:
Vad är derivatan av
$x^2+3$ ?
$x^2+7$ ?
$x^2-4711$ ?

Förstår bara inte riktigt hur du fick dessa värden.

Det är bara olika exempel som Yngve hittade på.

När du integrerar en funktion ska du alltid lägga till en konstant C till den primitiva funktionen.

f(x)= 2x har F(x)= x^2/2+C

f(x)= x^2+x har F(x)= x^3/3 +x^2/2 + C

Yngve skrev:
Ja!
Alla dessa funktioner har samma derivata, nämligen $2x$ .
Det betyder att alla dessa funktioner är primitiva funktioner till $f(x) = 2x$ .
Vi kan skriva det som att de primitiva funktionerna till $f(x) = 2x$ är $F(x) = x^2+C$ , där $C$ är en konstant.
Det finns alltså oändligt många primitiva funktioner till $f(x)=2x$ . Men endast en av dem går genom punkten (1,4).
Din uppgift är nu att ta reda på vilken av alla dessa primitiva funktioner som uppfyller det villkoret, dvs bestäm det värde på $C$ som gör att villkoret uppfylls.
Läs nu hela tråden från början till slut så kanske det trillar ner fler polletter?

Kanske krånglar till det bara men kopplar ändå inte.

Soderstrom skrev:
När du integrerar en funktion ska du alltid lägga till en konstant C till den primitiva funktionen.
f(x)= 2x har F(x)= x^2/2+C
f(x)= x^2+x har F(x)= x^3/3 +x^2/2 + C

Och hur vet man den konstanten då i det fallet?

Med hjälp av villkor som man får i uppgiften. I detta fall vet vi punkten (1,4) som räcker för att bestämma C

Soderstrom skrev:
Med hjälp av villkor som man får i uppgiften. I detta fall vet vi punkten (1,4) som räcker för att bestämma C

är det x² + 3? tänker att det går 3 mellan 1 och 4.

Vart lite hjärnsläpp

Utnyttja att F(1)=4

Soderstrom skrev:
Utnyttja att F(4)=1

Lägger jag in 4 nu där x är så får jag 29,33.

Alltså F(x) = x³/3 + x²/2 + C ---> 4³/3 + 4²/2 + C .

Blir jättekonstigt.

Jag skrev fel. F(1)=4 ska det vara, då du har (1,4)

f(x)=2x

F(x)=x^2/2+C

Kommer du vidare nu?

Soderstrom skrev:
Jag skrev fel. F(1)=4 ska det vara, då du har (1,4)
f(x)=2x
F(x)=x^2/2+C

Kommer du vidare nu?

Får 0,5 + C

Visa din uträkning.

Soderstrom skrev:
Visa din uträkning.

F(x)=x^2/2+C

F(1) = 1^2/2 + C

Om man kör denna

santas_little_helper skrev:

F(x)=x^2/2+C
F(1) = 1^2/2 + C
Om man kör denna

Tyvärr har Soderstrom råkat skriva fel på de primitiva funktionerna

Korrekta primitiva funktioner till $f(x)=2x$ är $F(x)=x^2+C$ , precis som det står i detta svar.

Det betyder att ekvationen $F(1)=4$ då blir $1^2+C=4$ , dvs $C=3$ .

Så korrekt svar på uppgiften är $F(x)=x^2+3$