Bestäm polynom av värdetabell (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Genom 4 punkter (med olika x-värden) så kan man alltid dra ett tredjegradspolynom.

ansätt

$p(x) = ax^3+bx^2+cx+d$

Du får ett ekvationssystem som ger dig a, b, c och d.

Dr. G skrev:
Genom 4 punkter (med olika x-värden) så kan man alltid dra ett tredjegradspolynom.
ansätt
$p(x) = ax^3+bx^2+cx+d$
Du får ett ekvationssystem som ger dig a, b, c och d.

Jag hänger på att 4 punkter ger en tredjegradspolynom, men jag vet inte hur jag ska använda formeln.

A, b, c & d motsvarar de 2, 5, 10 & 17? Blir då formeln p(x) = 2x^3 + 5x^2 + 10x + 17, eller ska jag välja en av x och sätta in den också?

Hur blir det ett ekvationsystem när jag bara har en ekvation?

Totie skrev:
Dr. G skrev:
Genom 4 punkter (med olika x-värden) så kan man alltid dra ett tredjegradspolynom.
ansätt
$p(x) = ax^3+bx^2+cx+d$
Du får ett ekvationssystem som ger dig a, b, c och d.
Jag hänger på att 4 punkter ger en tredjegradspolynom, men jag vet inte hur jag ska använda formeln.
A, b, c & d motsvarar de 2, 5, 10 & 17? Blir då formeln p(x) = 2x^3 + 5x^2 + 10x + 17, eller ska jag välja en av x och sätta in den också?
Hur blir det ett ekvationsystem när jag bara har en ekvation?

Du får en ekvation för p(1), en för p(2) osv. Fyra stycken.

Totie skrev:

Jag hänger med om att 4 punkter ger en tredjegradspolynom, men jag vet inte hur jag ska använda formeln.
A, b, c & d motsvarar de 2, 5, 10 & 17? Blir då formeln p(x) = 2x^3 + 5x^2 + 10x + 17, eller ska jag välja en av x och sätta in den också?
Hur blir det ett ekvationsystem när jag bara har en ekvation?

Polynomet är $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ .

Då $x=1$ så har polynomet värdet $2$ , dvs $P(1)=2$ . Skriv ut detta med a, b, c och d.
Då $x=2$ så har polynomet värdet $5$ , dvs $P(2)=5$ . Skriv ut denna ekvation med a, b, c och d.
Då $x=3$ så har polynomet värdet $10$ , dvs $P(3)=10$ . Skriv ut denna ekvation med a, b, c och d.
Då x=4 så har polynomet värdet $17$ , dvs $P(4)=17$ . Skriv ut denna ekvation med a, b, c och d.

Det ger dig 4 ekvationer för de 4 obekanta a, b, c och d.

Yngve skrev:
Totie skrev:
Jag hänger med om att 4 punkter ger en tredjegradspolynom, men jag vet inte hur jag ska använda formeln.
A, b, c & d motsvarar de 2, 5, 10 & 17? Blir då formeln p(x) = 2x^3 + 5x^2 + 10x + 17, eller ska jag välja en av x och sätta in den också?
Hur blir det ett ekvationsystem när jag bara har en ekvation?
Polynomet är $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ .
Då $x=1$ så har polynomet värdet $2$ , dvs $P(1)=2$ . Skriv ut detta med a, b, c och d.
Då $x=2$ så har polynomet värdet $5$ , dvs $P(2)=5$ . Skriv ut denna ekvation med a, b, c och d.
Då $x=3$ så har polynomet värdet $10$ , dvs $P(3)=10$ . Skriv ut denna ekvation med a, b, c och d.
Då x=4 så har polynomet värdet $17$ , dvs $P(4)=17$ . Skriv ut denna ekvation med a, b, c och d.
Det ger dig 4 ekvationer för de 4 obekanta a, b, c och d.

Stämmer verkligen detta? Det känns inte rätt. Är det meningen att jag ska lösa ett ekvationsystem med 4 obekanta och sedan sätta in värdena i den ursprungliga formeln utan x?

Totie skrev:

Stämmer verkligen detta? Det känns inte rätt. Är det meningen att jag ska lösa ett ekvationsystem med 4 obekanta och sedan sätta in värdena i den ursprungliga formeln utan x?

Ja du kan lösa ekvationssystemet för att få fram värden på a, b, c och d.

Använd sedan dessa i P(x) för att få fram ett polynom som stämmer med tabellen. Men du ska ha kvar x i P(x).

Kan du lägga i en bild av den ursprungliga frågan? Det är lättare för oss att hjälpa dig om vi ser exakt hur den är formulerad.

Smaragdalena skrev:
Kan du lägga i en bild av den ursprungliga frågan? Det är lättare för oss att hjälpa dig om vi ser exakt hur den är formulerad.

1113

Det var en dåligt formulerad fråga. Det finns ett tredjegradspolynom som stämmer, men det finns även oändligt många polynom av högre grad som också passerar genom alla fyra punkterna.

Fast om du tittar lite närmare på siffrorna, ser du att de kan skrivas som 1+1, 4+1, 9+1 och 16+1, d v s 1²+1, 2²+1, 3²+1, 4²+1. Det behövs alltså inte ens en tredjegradskurva för att det skall funka.

Smaragdalena skrev:
Det var en dåligt formulerad fråga. Det finns ett tredjegradspolynom som stämmer, men det finns även oändligt många polynom av högre grad som också passerar genom alla fyra punkterna.
Fast om du tittar lite närmare på siffrorna, ser du att de kan skrivas som 1+1, 4+1, 9+1 och 16+1, d v s 1²+1, 2²+1, 3²+1, 4²+1. Det behövs alltså inte ens en tredjegradskurva för att det skall funka.

Så finns det inget riktigt svar på denna uppgiften?

Jag är inte heller säker på om jag har förståt avsnittet helt ännu, men polynom ska ju innehålla både kosntant- och variabeltermer och facit säger x^2+1. Hur går det ihop?

Yngve skrev:
Totie skrev:
Stämmer verkligen detta? Det känns inte rätt. Är det meningen att jag ska lösa ett ekvationsystem med 4 obekanta och sedan sätta in värdena i den ursprungliga formeln utan x?
Ja du kan lösa ekvationssystemet för att få fram värden på a, b, c och d.
Använd sedan dessa i P(x) för att få fram ett polynom som stämmer med tabellen. Men du ska ha kvar x i P(x).

Jag vet inte hur man löser ett ekvationsystem med 4 obekanta. Har bara kommit till 3 obekanta, men jag lär mig gärna hur man gör

Om man hade frpgat efter det enklaste polynomet så skulle jag hålla med facit. Som det är nu finns det oändligt många svar

Man löser ekvationssystem med 4 obekanta på precis samma sätt som man gör med 2 eller 3, det är bara bökigare och lättare att göra fel.

Smaragdalena skrev:
Om man hade frpgat efter det enklaste polynomet så skulle jag hålla med facit. Som det är nu finns det oändligt många svar
Man löser ekvationssystem med 4 obekanta på precis samma sätt som man gör med 2 eller 3, det är bara bökigare och lättare att göra fel.

Jaha, okej. Ska ge det där ekvationssystemet ett försök

Tack för allt hjälp:)

Totie skrev:
Smaragdalena skrev:
Det var en dåligt formulerad fråga. Det finns ett tredjegradspolynom som stämmer, men det finns även oändligt många polynom av högre grad som också passerar genom alla fyra punkterna.
Fast om du tittar lite närmare på siffrorna, ser du att de kan skrivas som 1+1, 4+1, 9+1 och 16+1, d v s 1²+1, 2²+1, 3²+1, 4²+1. Det behövs alltså inte ens en tredjegradskurva för att det skall funka.
Så finns det inget riktigt svar på denna uppgiften?
Jag är inte heller säker på om jag har förståt avsnittet helt ännu, men polynom ska ju innehålla både kosntant- och variabeltermer och facit säger x^2+1. Hur går det ihop?

x² är en variabelterm, eller hur? Och 1 är en konstantterm. Men det behöver inte ens finnas någon konstantterm: x² ensamt är också ett polynom (lite i motsägelse till poly som betyder många).

Ett annat sätt att få fram ett sådant polynom är att skriva det som $(x-1)(x-2)(x-3)\cdot\frac{17}{6} + (x-1)(x-2)(x-4)\cdot\frac{10}{-2} + ...$ .

Smaragdalena skrev:
Det var en dåligt formulerad fråga. Det finns ett tredjegradspolynom som stämmer, men det finns även oändligt många polynom av högre grad som också passerar genom alla fyra punkterna.
Fast om du tittar lite närmare på siffrorna, ser du att de kan skrivas som 1+1, 4+1, 9+1 och 16+1, d v s 1²+1, 2²+1, 3²+1, 4²+1. Det behövs alltså inte ens en tredjegradskurva för att det skall funka.

Jag tycker de borde ha skrivit antingen "av lägsta möjliga grad" eller "andragradspolynom" för att få det svar de vill ha (som bygger på att man känner igen talen, så som Smaragdalena visar). Men "av lägsta möjliga grad" känns inte som ett begrepp som används på gymnasiet. Det var nog inte meningen att man skulle lösa ett ekvationssystem med fyra variabler i Matte 3.

För att faktiskt hitta polynomet av lägsta grad systematiskt får man väl ansätta grad 1, grad 2, etc. upp till antalet värdepunkter minus 1, och se när systemet går att lösa. Finns det någon snabbare metod?

Kan man tänka så här?

Vi ritar in värdena i ett diagram och ser att det är inte en rät linje.

Möjligen är det en andragradsekvation?

Om det är så kan vi använda att $a x^{2} + b x + c = p (x)$
$p (x)$ kan vi ersätta med $y$

Då kan vi lätt sätta upp tre ekvationer och få fram värden för a, b och c