Bestäm plan som är ortogonalt till en skärninglinje
"Vilket är det plan som innehåller punkten (1, 1, 1) och är ortogonalt mot
skärningslinjen mellan planen x + y - z = 3 och 2x + 3z = 7 ?"
Min lösning:
Bestäm först skärningslinjen mellan de givna planen. Denna linje ska uppfylla båda planens ekvationer:
x + y - z - 3 = 2x + 3z - 7
För att bestämma två gemensamma punkter mellan planen, så kan vi bestämma värden på (x, y) och lösa ut z:
Låt x = 0, y = 1
=> z = 5/4
Låt nu x = 2, y = 2
=> z = 1
=> Två punkter på skärningslinjen är P1 = (0, 1, 5/4) och P2 = (2, 2, 1).
=> En riktningvektor till linjen är P2 - P1 = (2 - 0, 2 - 1, 1 - 5/4) = (2, 1, -1/4)
=> L: (x, y, z) = (2, 2, 1) + S(2, 1, -1/4), S tillhör den reella talmängden.
ovanstående är en parameterframställning av skärningslinjen.
Vidare så vet vi att ett plan Ax + By + Cz = D har (A, B, C) som normalvektor, och
eftersom att linjen är ortogonal mot det önskade planet så kan vi välja ett värde på S och få ut
en normalvektor till planet. Sätt tex S = - 4:
(x, y, z) = (2, 2, 1) - 4(2, 1, -1/4) = (-6, -2, 2) = 2(-3, -1, 1)
=> (-3, -1, 1) är en normalvektor till planet.
=> A = -3, B = -1, C = 1
Sätt nu in den kända punkten från planet (1, 1, 1) för att lösa ut D:
-3 * 1 -1 * 1 + 1*1 = D <=> D = -3
Svar: Det sökta planet är -3x - y + z = -3
Problem:
I facit står det 3x - 5y - 2z = -4.
Jag förstår verkligen inte vart jag gjorde fel här?
Normalvektorn blir linjens riktningsvektor. 2(-3, -1, 1) är en punkt
(har inte dubbelkollat så att beräkningarna stämmer)
Kontrollera att din linje verkligen ger punkter som ligger i båda planen samtidigt. Beräkna t.ex. punkten för
ItzErre skrev:Normalvektorn blir linjens riktningsvektor. 2(-3, -1, 1) är en punkt
(har inte dubbelkollat så att beräkningarna stämmer)
Fast en punkt och en vektor kan väl ses som samma sak, punkten 2(-3, -1, 1) har en motsvarande vektorform.
Men du menar att endast riktningsvektorn är ortogonal till planet? Det låter faktiskt logiskt, men jag får fortfarande fel svar då. Jag visade att en riktningsvektor till linjen är x = 2, y = 1, z = -1/4. Om vi då låter A = 2, B = 1, C = -1/4, och löser ut D genom att sätta in den kända koordinaten (1, 1, 1) så får vi att planet blir 2x + y - z / 4 = 11/4.
Denna metod ger fortfarande fel svar, och jag förstår fortfarande inte varför.
Tillägg: 5 aug 2022 01:04
Det kanske är något som jag inte förstår om planets normalvektor, eller så är det något annat felaktigt antagande som jag gjort.
Jag brukar aldrig utgå från att facit har fel.
jag får följande:
linjen kan skrivas som följande:
(x,y,z)=(3.5-1.5t , -0,5+2.5t , t ) dvs har riktningsvektorn (-3,5,2)
denna riktningsvektorn är ortogonal mot planet och kan därför ses som des normalvektor.
-3x+5y+2z+d=0
insätt (1, 1, 1) i denna ekvation för att lösa ut d
janne99 skrev:Jag visade att en riktningsvektor till linjen är x = 2, y = 1, z = -1/4.
Nej det stämmer inte. Om du sätter in som parameter i linjens ekvation får du punkten
Och sätter du in den punkten i de ursprungliga ekvationerna kommer du märka att ekvationerna inte är uppfyllda. Alltså ligger inte i något av planen, trots att du påstår att alla punkter på linjen ligger i båda planen.
Börja med att bestämma skärningslinjen korrekt. Riktningsvektorn för skärningslinjen ska sedan vara normal för det sökta planet.
D4NIEL skrev:janne99 skrev:Jag visade att en riktningsvektor till linjen är x = 2, y = 1, z = -1/4.
Nej det stämmer inte. Om du sätter in som parameter i linjens ekvation får du punkten
Och sätter du in den punkten i de ursprungliga ekvationerna kommer du märka att ekvationerna inte är uppfyllda. Alltså ligger inte i något av planen, trots att du påstår att alla punkter på linjen ligger i båda planen.
Börja med att bestämma skärningslinjen korrekt. Riktningsvektorn för skärningslinjen ska sedan vara normal för det sökta planet.
Okej nu så har jag bestämt den korrekta skärningslinjen och fått rätt svar. Då kanske felet som jag gjorde var att anta från början att (x = 0, y = 1) finns på båda planen.
