Bestäm partikulärlösningen

Prova! Sätt in ditt svar i ursprungsekvationen. Stämmer det? :)

Jag får det inte att stämma :( vad gör jag för fel?

Det blir knasigt eftersom du inte löser differentialekvationen. Börja med att skriva om ekvationen till $y’+7y=e^{3x}$. Den homogena differentialekvationen är $y’+7y=0$. Vilken lösning har den? 

Ce^-7x?

Japp! Vad blir partikulärlösningen till differentialekvationen? :)

Där börjar att att derivera så jag får

y=e^3x-7+c

sätter in värdena

y= e^0-7+c och c blir då 6

då satte jag in de så de blev y=e^3x-7+6 men vart blir de fel?

Hur menar du med att du börjar med att derivera? :) Det känns som att något har blivit lite knasigt i din metod, eller så missförstår jag dig. 

En inhomogen differentialekvation (vilket detta är, då vi inte har en nolla i högerledet), har en lösning som består av två delar. Den ena delen är den homogena lösningen, vilket är lösningen till den homogena ekvationen (samma differentialekvation fast med en nolla i högerledet), och den andra delen är partikulärlösningen, som löser hela ekvationen. Detta brukar skrivas $y=y_H+y_p$.  

$y_H$, den homogena lösningen, har du redan fått fram till $y_H=Ce^{-7x}$.

Nu behöver vi hitta partikulärlösningen. Denna brukar tas fram genom att göra en ansats, baserat på vad som finns i högerledet. En ansats är i princip en kvalificerad gissning. Om vi har en term på formen $Ce^{kx}$ i högerledet, brukar vår ansats vara just $y_P=Ce^{kx}$. I vårt fall blir det då $y_P=Ce^{3x}$. 

För att hitta rätt värde på C, deriverar vi $y_P$ och sätter in $y_P$ och $y'_P$ i ekvationen $y'=e^{3x}-7y$ och förenklar. Vad blir C? :)

Såhär?

Ja, det stämmer att C = 1/10.

Då har du bestämt även y_p

Skriv nu svaret som y = y_h+y_p

Alltså y= Ce^-7+ 1/10?

Och ska jag inte göra något med y(0)=0?

Julialarsson321 skrev:

Alltså y= Ce^-7+ 1/10?

Nej.

Börja med att skriva ut hela y_p

Yp=e^3x-7+1/10?

Nej, partikulärlösningen är y_p = C₂e^3x.

Du har ommit fram till att C₂ = 1/10.

Drt betyder att y_p = (1/10)•e^3x

Så svaret blir y=ce^-7 +(1/10)e^3x?

Använd parenteser runt exponenten.

Du saknar ett x i exponenten för y_h.

Hela lösningen är y = y_h+y_p = C₁e^(-7x)+(1/10)•e^(3x)

Du kan nu bestämma C₁ med hjälp av villkoret y(0) = 0.

====

Du ser att jag har döpt integrationskonstanterna till C₁ och C₂ för att minska risken för sammanblandning.

Så?

Helt rätt! :)

och jag ska skriva hela svaret så även fast det står "bestäm partikulärlösningen"? Alltså yh ska oxå vara med i svaret?

...nej, det har du rätt i. Då borde det bara vara $y_P$ de söker. Jag missade det, förlåt. :(

Haha 

så då ska jag inte räkna ut c1 utan endast  c2 och skriva 

svar: yp = (1/10)e^3x

men hur ska jag då använd svillkoret y(0)=0?

Är du säker på att uppgiften är formulerad på det sättet?

Om de endast är ute efter y_p  så är (rand)villkoret y(0) = 0 inte användbart till något.

Man kan ju bli lite filosofisk och fundera över om en partikulärlösning ska uppfylla ekvationen (inklusive alla randvillkor) eller inte.

Man ska inte bara sätta in y(0)=0 direkt som jag gjorde i #1? 

Julialarsson321 skrev:

Man ska inte bara sätta in y(0)=0 direkt som jag gjorde i #1? 

Men din partikulärlösning i svar #1 var inte rätt.

Om y_p = (1/10)•e^(3x) så är y_p(0) = (1/10)•e^0 = 1/10.

Vi kan alltså inte få att y_p(0) = 0 på något sätt.

Så det kan inte vara det de menar.

De måste mena att y(0) = 0, dvs att y_h(0)+y_p(0) = 0.

En differentialekvation som kan skrivas på formen

$y^\prime+f(x)y=g(x),$

Där $f(x)$ och $g(x)$ är givna funktioner, kallas en linjär differentialekvation av första ordningen. Uppgiftens differentialekvation är just en sådan ekvation med $f(x)=7$ och $g(x)=e^{3x}$. Den lösningsmetod man kan misstänka att uppgiftsmakaren tänkt sig är metoden med integrerande faktor. Den går till så att vi först bestämmer en primitiv funktion $F(x)$ till $f(x)$ och sedan multiplicerar båda led med $e^{F(x)}$.

$e^{7x}y^\prime+7e^{7x}y=e^{3x}e^{7x}$

Denna ekvation kan skrivas

$\left(e^{7x}y\right)^\prime=e^{10x}$

Detta är ekvivalent med att

$\displaystyle e^{7x}y=\int e^{10x}\,dx+C$

Där $C$ är en godtycklig konstant. Den allmänna lösningen till ekvationen på något intervall $I$ är alltså

$y(x)=\frac{e^{3x}}{10}+Ce^{-7x}$

Med en partikulärlösning till en differentialekvation på en given mängd $M$ (som vanligen är ett intervall $I$) menas en funktion, som satisfierar ekvationen i varje punkt i $M$. Att lösa en differentialekvation innebär att bestämma alla dess lösningar. Mängden av alla lösningar kallas differentialekvationens lösningsmängd. En lösningskurva till en differentialekvation är grafen till en partikulärlösning.

Ovan har vi plottat några lösningskurvor för olika värden på konstanten $C$ i intervallet $[-2,2]$. En lösningskurva har vi markerat med rött, den för $C=-\frac{1}{10}$.

$\displaystyle y\left(x\right)=\frac{e^{3x}-e^{-7x}}{10}\quad\quad$ Se ditt eget svar i post #18

Att vi markerat just den partikulärlösningen beror på att den (och endast den) uppfyller villkoret y(0)=0 och därmed är den partikulärlösning i bestämd form som efterfrågas i uppgiften.

Tack D4NIEL för ett bra svar med förtydligande. Då var det alltså bara lite förvirring kring begreppet partikulärlösning.