Bestäm på formen Ax + By + Cz = D ekvationen för det plan som går genom de 2 punkterna

Hmmm, jag är inte säker på hur du kommer fram till hur planet kan definieras? Ett sätt att angripa denna typ av uppgifter är följande: ett plan spänns upp av två vektorer. Den ena vektorn kan vi hitta genom att hitta den vektor som går mellan de angivna punkterna, (1,3,4) och (2,0,5). Vilken vektor går mellan dessa punkter?

Dessutom vet vi att planet ska vara parallellt med en linje. En linje spänns upp av en vektor. Vårt plans andra vektor kan vi därför läsa av från denna linje. Vilken riktningsvektor har linjen? :)

Smutstvätt skrev:

Hmmm, jag är inte säker på hur du kommer fram till hur planet kan definieras? Ett sätt att angripa denna typ av uppgifter är följande: ett plan spänns upp av två vektorer. Den ena vektorn kan vi hitta genom att hitta den vektor som går mellan de angivna punkterna, (1,3,4) och (2,0,5). Vilken vektor går mellan dessa punkter?

Dessutom vet vi att planet ska vara parallellt med en linje. En linje spänns upp av en vektor. Vårt plans andra vektor kan vi därför läsa av från denna linje. Vilken riktningsvektor har linjen? :)

Jag tänkte att om planet går genom punkterna (1,3,4) och (2,0,5) så borde alla punkter däremellan gå att beskriva genom någon kombination av s(1,3,4) + t(2,0,5). Det kanske är helt fel dock haha. 

Men när du frågar vilken vektor som går mellan de givna punkterna, då tänker du då på vektorn som ges av (2,0,5) - (1,3,4) = (1,-3,1) eller?

Är det sedan så att om ett plan är parallellt med en linje så måste en av axlarna i planet vara parallell med linjen? Och isåfall så är den andra axelns ekvation $\left\{\begin{array}{l}x = 12a-5at\\ y = 18a + at\\ z =\hspace{0.17em}24a - 2at\end{array}\right.$?

Knugenshögra skrev:

Jag tänkte att om planet går genom punkterna (1,3,4) och (2,0,5) så borde alla punkter däremellan gå att beskriva genom någon kombination av s(1,3,4) + t(2,0,5). Det kanske är helt fel dock haha. 

Jag tror tyvärr det. :(

Men när du frågar vilken vektor som går mellan de givna punkterna, då tänker du då på vektorn som ges av (2,0,5) - (1,3,4) = (1,-3,1) eller?

Precis!

Är det sedan så att om ett plan är parallellt med en linje så måste en av axlarna i planet vara parallell med linjen? Och isåfall så är den andra axelns ekvation $\left\{\begin{array}{l}x = 12a-5at\\ y = 18a + at\\ z =\hspace{0.17em}24a - 2at\end{array}\right.$?

Det är enklare än så. Linjen i fråga kan skrivas om till formen $(x,y,z)=\left(12,18,24\right)+t\left(-5,1,-2\right)$, så blir det lite lättare att läsa av dess riktningsvektor. :)

När vi nu har två vektorer som spänner upp vårt plan, kan vi hitta planets normalvektor genom att kryssa vektorerna. :)

Smutstvätt skrev:

Knugenshögra skrev:

Jag tänkte att om planet går genom punkterna (1,3,4) och (2,0,5) så borde alla punkter däremellan gå att beskriva genom någon kombination av s(1,3,4) + t(2,0,5). Det kanske är helt fel dock haha. 

Jag tror tyvärr det. :(

Men när du frågar vilken vektor som går mellan de givna punkterna, då tänker du då på vektorn som ges av (2,0,5) - (1,3,4) = (1,-3,1) eller?

Precis!

Är det sedan så att om ett plan är parallellt med en linje så måste en av axlarna i planet vara parallell med linjen? Och isåfall så är den andra axelns ekvation $\left\{\begin{array}{l}x = 12a-5at\\ y = 18a + at\\ z =\hspace{0.17em}24a - 2at\end{array}\right.$?

Det är enklare än så. Linjen i fråga kan skrivas om till formen $(x,y,z)=\left(12,18,24\right)+t\left(-5,1,-2\right)$, så blir det lite lättare att läsa av dess riktningsvektor. :)

När vi nu har två vektorer som spänner upp vårt plan, kan vi hitta planets normalvektor genom att kryssa vektorerna. :)

Hmm, tror inte vi har lärt oss att kryssa vektorer. Menar du att jag ska sätta in de i samma ekvationssystem och lösa ut eller vad menas med att kryssa de?

Kryssprodukt för vektorer måste du lärt dig. Det och skalärprodukt går de igenom innan planets ekvation.

Ebola skrev:

Kryssprodukt för vektorer måste du lärt dig. Det och skalärprodukt går de igenom innan planets ekvation.

Tror ej det, om du syftar på https://sv.wikipedia.org/wiki/Kryssprodukt så har jag aldrig sett det eller gått igenom det. Ser också i boken nu att detta inte kommer förrän om 2 kapitel. Skalärprodukt kommer i nästa kapitel. Boken jag jobbar med är Lineär Algebra av Karl Gustav Andersson.

Då använder den boken någon knepig specialmetod innan de lär ut den riktiga metoden. Du får läsa i boken helt enkelt, det finns säkert flera exempel.

Jag gissar att du enkelt kan bygga upp ett ekvationssystem med som exempel punkterna:

(1,3,4); (2,0,5); (2, 20, 20)

Dessa punkter ligger alla på planet så bygg upp en koefficentmatris och börja radreducera.

Hmmm, ja nej det händer att kryssprodukter gås igenom senare än linjer och plan. Då får vi använda skalärprodukter. Vi vill hitta någon vektor $(a,b,c)$ som är vinkelrät mot både $(1,-3,1)$ och $(-5,1,-2)$. Vi har tre obekanta och två ekvationer, vilket kommer att innebära att det finns flera olika alternativ, men det viktiga är att dessa alternativ ligger på samma linje, oavsett hur långa de är. Vi beräknar skalärprodukterna: 

$\left\{\begin{array}{l}\left(a,b,c\right)·\left(1,-3,1\right)=a-3b+c=0\\ \left(a,b,c\right)·(-5,1,-2)=-5a+b-2c=0\end{array}\right.$

Vi kan addera ekvation två till 2*ekv1: 

$2(a-3b+c)=0+-5a+b-2c=0-3a-5b=0$

Så $3a=5b$, så vi kan sätta $a=5$ och $b=-3$. Då får vi $c=-14$. 

Så normalvektorn $(a,b,c)=\xcancel{(5,7,16)}\;{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0}(}{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0}5}{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0},}{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0}-}{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0}3}{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0},}{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0}-}{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0}14}{\color[rgb]{0.8, 0.0, 0.0})}$, vilket ger normalekvationen $5x-3y-14z=d$. 

Vi kan hitta d genom att sätta in någon punkt i planet i ekvationen, och lösa ut d. :)

Smutstvätt skrev:

Hmmm, ja nej det händer att kryssprodukter gås igenom senare än linjer och plan. Då får vi använda skalärprodukter. Vi vill hitta någon vektor $(a,b,c)$ som är vinkelrät mot både $(1,-3,1)$ och $(-5,1,-2)$. Vi har tre obekanta och två ekvationer, vilket kommer att innebära att det finns flera olika alternativ, men det viktiga är att dessa alternativ ligger på samma linje, oavsett hur långa de är. Vi beräknar skalärprodukterna: 

$\left\{\begin{array}{l}\left(a,b,c\right)·\left(1,-3,1\right)=a-3b+c=0\\ \left(a,b,c\right)·(-5,1,-2)=-5a+b-2c=0\end{array}\right.$

Vi kan addera ekvation två till 2*ekv1: 

$2(a-3b+c)=0+-5a+b-2c=0-3a-5b=0$

Så $3a=5b$, så vi kan sätta $a=5$ och $b=-3$. Då får vi $c=-14$. 

Så normalvektorn $(a,b,c)=(5,7,16)$, vilket ger normalekvationen $5x-3y-14z=d$. 

Vi kan hitta d genom att sätta in någon punkt i planet i ekvationen, och lösa ut d. :)

Ok, jag förstår mestadels hur du tänkt. Jag tror även jag kommer byta bok eftersom den här boken har varken gått igenom skalärprodukter eller att Ax + By + Cz = D innebär att man ska använda sig av normalen till planet, utan det fick jag läsa mig till själv. Den har egentligen inte knappt förklarat vad som menas med plan och parametrar heller utan bara att de finns, så allt känns förvirrande om man inte läser sig till detta utanför boken.

Det enda jag inte hänger med på det är hur du får normalvektorn = (5,7,16)?

Knugenshögra skrev:

Ok, jag förstår mestadels hur du tänkt. Jag tror även jag kommer byta bok eftersom den här boken har varken gått igenom skalärprodukter eller att Ax + By + Cz = D innebär att man ska använda sig av normalen till planet, utan det fick jag läsa mig till själv. Den har egentligen inte knappt förklarat vad som menas med plan och parametrar heller utan bara att de finns, så allt känns förvirrande om man inte läser sig till detta utanför boken.

Märkligt! Ja, då kanske det är dags att skaffa en annan bok. Låter väldigt märkligt. 🥴

Det enda jag inte hänger med på det är hur du får normalvektorn = (5,7,16)?

Slarv från min sida. Jag fick fram detta svar först, men insåg sedan att jag hade vänt på ett minustecken, men jag har glömt att ändra det. Normalvektorn är $(5,-3,-14)$. 

Smutstvätt skrev:

Knugenshögra skrev:

Ok, jag förstår mestadels hur du tänkt. Jag tror även jag kommer byta bok eftersom den här boken har varken gått igenom skalärprodukter eller att Ax + By + Cz = D innebär att man ska använda sig av normalen till planet, utan det fick jag läsa mig till själv. Den har egentligen inte knappt förklarat vad som menas med plan och parametrar heller utan bara att de finns, så allt känns förvirrande om man inte läser sig till detta utanför boken.

Märkligt! Ja, då kanske det är dags att skaffa en annan bok. Låter väldigt märkligt. 🥴

Det enda jag inte hänger med på det är hur du får normalvektorn = (5,7,16)?

Slarv från min sida. Jag fick fram detta svar först, men insåg sedan att jag hade vänt på ett minustecken, men jag har glömt att ändra det. Normalvektorn är $(5,-3,-14)$. 

Ah, då var det hela klart. Tack för hjälpen och tålamodet, det uppskattas! :)

Det var så lite så! :D