Bestäm P(X = Y) då X och Y är korrelerade
De stokastiska variablerna X och Y är båda Be(1/2) = Bin(1; 1/2)-fördelade och har
korrelationskoefficient 1/2. Bestäm P(X = Y ).
Har ingen som helst aning om var jag ska börja ens...
Det är nog möjligt att sätta upp ett ekvationssystem för sannolikheterna. Men man kan nog också göra så att man låter
I=1-(X-Y)2
Vilket innebär att I är en bernoulli fördelad s.v. Vilket ger att
P(X=Y)=P(I=1)=E[I]
Nu behöver du bara beräkna E[I].
Stokastisk skrev :Det är nog möjligt att sätta upp ett ekvationssystem för sannolikheterna. Men man kan nog också göra så att man låter
I=1-(X-Y)2
Vilket innebär att I är en bernoulli fördelad s.v. Vilket ger att
P(X=Y)=P(I=1)=E[I]
Nu behöver du bara beräkna E[I].
Hmm...jag tror inte riktigt att jag blev klokare...
Lägg märke till att I är 1 om X=Y och 0 annars. Så väntevärdet på I är det samma som sannolikheten att X=Y. Nu är ju
I=1-(X-Y)2=1-X2+2XY-Y2
Så man får att
E[I]=1-E[X2]-E[Y2]+2E[XY]
Du kan beräkna vad E[XY] är genom korrelationskoefficienten.
Stokastisk skrev :Lägg märke till att I är 1 om X=Y och 0 annars. Så väntevärdet på I är det samma som sannolikheten att X=Y. Nu är ju
I=1-(X-Y)2=1-X2+2XY-Y2
Så man får att
E[I]=1-E[X2]-E[Y2]+2E[XY]
Du kan beräkna vad E[XY] är genom korrelationskoefficienten.
Det hjälpte lite mer; är I ~ Be(1/2)?
Nej det behöver inte nödvändigtvis gälla.
Om p är sannolikheten att X=Y så är I∼Be(p).
Stokastisk skrev :Lägg märke till att I är 1 om X=Y och 0 annars. Så väntevärdet på I är det samma som sannolikheten att X=Y. Nu är ju
I=1-(X-Y)2=1-X2+2XY-Y2
Så man får att
E[I]=1-E[X2]-E[Y2]+2E[XY]
Du kan beräkna vad E[XY] är genom korrelationskoefficienten.
Varför blir det så att I = 1 - (X - Y)^2? Just delen (X - Y)^2...
Om X≠Y så kommer ju X-Y antingen vara -1 eller 1, därför är (X-Y)2=1 då X≠Y och (X-Y)2=0 då X=Y. Därför får man att
I=1-(X-Y)2
är 1 då X=Y och 0 annars.
Stokastisk skrev :Lägg märke till att I är 1 om X=Y och 0 annars. Så väntevärdet på I är det samma som sannolikheten att X=Y. Nu är ju
I=1-(X-Y)2=1-X2+2XY-Y2
Så man får att
E[I]=1-E[X2]-E[Y2]+2E[XY]
Du kan beräkna vad E[XY] är genom korrelationskoefficienten.
Du har jag fått att E(I) = -1/4...men det är ju inte rätt...
E(X^2) = E(Y^2) = 1/2
V(X) = V(Y) = 1/4 --> Std(X) = Std(Y) = 1/2
C(X,Y) = Corr(X,Y)*Std(X)*Std(Y) = 1/2*sqrt(1/4)*sqrt(1/4) = (1/2)^3 = 1/8
E(X) = E(Y) = 1/2
C(X, Y) = E(XY) - E(X)*E(Y) --> E(XY) = C(X, Y) + E(X)*E(Y) (Det var här jag gjorde fel)...
E(XY) = 1/8 + 1/4 = 3/8
E(I) = 1 - E(X^2) - E(Y^2) + 2E(XY) = 1 - 1/2 - 1/2 + 2*3/8 = 6/8 = 3/4
--> P(X = Y) = 3/4
Ja det där ser ut att stämma.
Stokastisk skrev :Om X≠Y så kommer ju X-Y antingen vara -1 eller 1, därför är (X-Y)2=1 då X≠Y och (X-Y)2=0 då X=Y. Därför får man att
I=1-(X-Y)2
är 1 då X=Y och 0 annars.
Skulle du kunna förklara detta lite närmre? Jag tror förstå vad du menar men känner att jag inte gör det ändå...
Du har fyra fall.
- X=Y=1, då är (X-Y)2=(1-1)2=0
- X=Y=0, då är (X-Y)2=(0-0)2=0
- X=1, Y=0, då är (X-Y)2=(1-0)2=1
- X=0, Y=1, då är (X-Y)2=(0-1)2=1
Alltså, då X≠Y så är (X-Y)2=1 och då X=Y så är (X-Y)2=0.
Därför blir
I=1-(X-Y)2
en indikatorvariabel på om X=Y eller inte. Alltså I=1 omm X=Y och I=0 omm X≠Y.
Stokastisk skrev :Du har fyra fall.
- X=Y=1, då är (X-Y)2=(1-1)2=0
- X=Y=0, då är (X-Y)2=(0-0)2=0
- X=1, Y=0, då är (X-Y)2=(1-0)2=1
- X=0, Y=1, då är (X-Y)2=(0-1)2=1
Alltså, då X≠Y så är (X-Y)2=1 och då X=Y så är (X-Y)2=0.
Därför blir
I=1-(X-Y)2
en indikatorvariabel på om X=Y eller inte. Alltså I=1 omm X=Y och I=0 omm X≠Y.
Man kvadrerar alltså för att försäkra sig om att I endast antar värdena 0 eller 1. Hade vi inte kvadrerat utan bara kört (X - Y) så hade I kunnat anta värdena -1, 0 och 1.
Ja, men om vi inte hade kvadrerat så hade I kunnat anta 0, 1 eller 2.
Hej!
0.5=P(X=1)=P(X=1ochY=0)+P(X=1ochY=1);
0.5=P(Y=0)=P(X=0ochY=0)+P(X=1ochY=0).
Addera!
1=P(X=Y)+2P(X=1ochY=0).
Var(X-Y)=E((X-Y)2)=2P(X=0ochY=1)
dels
Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Korr(X,Y)√Var(X)Var(Y)=1/2-1/2·1/2=1/4
ger den sökta sannolikheten
P(X=Y)=1-1/4=3/4.
Albiki
