Bestäm P(X = Y) då X och Y är korrelerade

Det är nog möjligt att sätta upp ett ekvationssystem för sannolikheterna. Men man kan nog också göra så att man låter

$I = 1 - (X - Y)^2$

Vilket innebär att $I$ är en bernoulli fördelad s.v. Vilket ger att

$P(X = Y) = P(I = 1) = E[I]$

Nu behöver du bara beräkna $E[I]$.

Stokastisk skrev :

Det är nog möjligt att sätta upp ett ekvationssystem för sannolikheterna. Men man kan nog också göra så att man låter

$I = 1 - (X - Y)^2$

Vilket innebär att $I$ är en bernoulli fördelad s.v. Vilket ger att

$P(X = Y) = P(I = 1) = E[I]$

Nu behöver du bara beräkna $E[I]$.

Hmm...jag tror inte riktigt att jag blev klokare...

Lägg märke till att $I$ är 1 om $X = Y$ och 0 annars. Så väntevärdet på $I$ är det samma som sannolikheten att $X = Y$. Nu är ju

$I = 1 - (X - Y)^2 = 1 - X^2 + 2XY - Y^2$

Så man får att

$E[I] = 1 - E[X^2] - E[Y^2] + 2E[XY]$

Du kan beräkna vad $E[XY]$ är genom korrelationskoefficienten.

Stokastisk skrev :

Lägg märke till att $I$ är 1 om $X = Y$ och 0 annars. Så väntevärdet på $I$ är det samma som sannolikheten att $X = Y$. Nu är ju

$I = 1 - (X - Y)^2 = 1 - X^2 + 2XY - Y^2$

Så man får att

$E[I] = 1 - E[X^2] - E[Y^2] + 2E[XY]$

Du kan beräkna vad $E[XY]$ är genom korrelationskoefficienten.

Det hjälpte lite mer; är I ~ Be(1/2)?

Nej det behöver inte nödvändigtvis gälla.

Om p är sannolikheten att $X = Y$ så är $I \sim Be(p)$.

Stokastisk skrev :

Lägg märke till att $I$ är 1 om $X = Y$ och 0 annars. Så väntevärdet på $I$ är det samma som sannolikheten att $X = Y$. Nu är ju

$I = 1 - (X - Y)^2 = 1 - X^2 + 2XY - Y^2$

Så man får att

$E[I] = 1 - E[X^2] - E[Y^2] + 2E[XY]$

Du kan beräkna vad $E[XY]$ är genom korrelationskoefficienten.

Varför blir det så att I = 1 - (X - Y)^2? Just delen (X - Y)^2...

Om $X \neq Y$ så kommer ju $X - Y$ antingen vara -1 eller 1, därför är $(X - Y)^2 = 1$ då $X \neq Y$ och $(X - Y)^2 = 0$ då $X = Y$. Därför får man att

$I = 1 - (X - Y)^2$

är 1 då $X = Y$ och 0 annars.

Stokastisk skrev :

Lägg märke till att $I$ är 1 om $X = Y$ och 0 annars. Så väntevärdet på $I$ är det samma som sannolikheten att $X = Y$. Nu är ju

$I = 1 - (X - Y)^2 = 1 - X^2 + 2XY - Y^2$

Så man får att

$E[I] = 1 - E[X^2] - E[Y^2] + 2E[XY]$

Du kan beräkna vad $E[XY]$ är genom korrelationskoefficienten.

Du har jag fått att E(I) = -1/4...men det är ju inte rätt...

E(X^2) = E(Y^2) = 1/2

V(X) = V(Y) = 1/4 --> Std(X) = Std(Y) = 1/2

C(X,Y) = Corr(X,Y)*Std(X)*Std(Y) = 1/2*sqrt(1/4)*sqrt(1/4) = (1/2)^3 = 1/8

E(X) = E(Y) = 1/2

C(X, Y) = E(XY) - E(X)*E(Y) --> E(XY) = C(X, Y) + E(X)*E(Y) (Det var här jag gjorde fel)...

E(XY) = 1/8 + 1/4 = 3/8

E(I) = 1 - E(X^2) - E(Y^2) + 2E(XY) = 1 - 1/2 - 1/2 + 2*3/8 = 6/8 = 3/4

--> P(X = Y) = 3/4

Ja det där ser ut att stämma.

Stokastisk skrev :

Om $X \neq Y$ så kommer ju $X - Y$ antingen vara -1 eller 1, därför är $(X - Y)^2 = 1$ då $X \neq Y$ och $(X - Y)^2 = 0$ då $X = Y$. Därför får man att

$I = 1 - (X - Y)^2$

är 1 då $X = Y$ och 0 annars.

Skulle du kunna förklara detta lite närmre? Jag tror förstå vad du menar men känner att jag inte gör det ändå...

Du har fyra fall.

• $X = Y = 1$, då är $(X - Y)^2 = (1 - 1)^2 = 0$
• $X = Y = 0$, då är $(X - Y)^2 = (0 - 0)^2 = 0$
• $X = 1$, $Y = 0$, då är $(X - Y)^2 = (1 - 0)^2 = 1$
• $X = 0$, $Y = 1$, då är $(X - Y)^2 = (0 - 1)^2 = 1$

Alltså, då $X \neq Y$ så är $(X - Y)^2 = 1$ och då $X = Y$ så är $(X - Y)^2 = 0$.

Därför blir

$I = 1 - (X - Y)^2$

en indikatorvariabel på om $X = Y$ eller inte. Alltså $I = 1$ omm $X = Y$ och $I = 0$ omm $X \neq Y$.

Stokastisk skrev :

Du har fyra fall.

• $X = Y = 1$, då är $(X - Y)^2 = (1 - 1)^2 = 0$
• $X = Y = 0$, då är $(X - Y)^2 = (0 - 0)^2 = 0$
• $X = 1$, $Y = 0$, då är $(X - Y)^2 = (1 - 0)^2 = 1$
• $X = 0$, $Y = 1$, då är $(X - Y)^2 = (0 - 1)^2 = 1$

Alltså, då $X \neq Y$ så är $(X - Y)^2 = 1$ och då $X = Y$ så är $(X - Y)^2 = 0$.

Därför blir

$I = 1 - (X - Y)^2$

en indikatorvariabel på om $X = Y$ eller inte. Alltså $I = 1$ omm $X = Y$ och $I = 0$ omm $X \neq Y$.

Man kvadrerar alltså för att försäkra sig om att I endast antar värdena 0 eller 1. Hade vi inte kvadrerat utan bara kört (X - Y) så hade I kunnat anta värdena -1, 0 och 1.

Ja, men om vi inte hade kvadrerat så hade I kunnat anta 0, 1 eller 2.

Hej!

    $0.5 = P(X=1) = P(X=1 och Y=0) + P(X=1 och Y=1);$

    $0.5 = P(Y=0) = P(X=0 och Y=0) + P(X=1 och Y=0).$

Addera!

    $1 = P(X=Y) + 2P(X=1 och Y=0).$ 

    $Var(X-Y) = E((X-Y)^2) = 2P(X=0 och Y=1)$

dels 

    $Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) -2Korr(X,Y)\sqrt{Var(X)Var(Y)} = 1/2 - 1/2\cdot 1/2 = 1/4$

ger den sökta sannolikheten

    $P(X=Y) = 1 - 1/4 = 3/4.$

Albiki