Bestäm p(x)

Nej om du subtraherar ett andragradspolynom från ett tredjegradspolynom så blir resultatet ett tredjegradspolynom eftersom det inte finns någon term av tredje graden  i andragradspolynomet som kan "ta ut" tredjegradstermen i tredjegradspolynomet.

Med det tipset fick du en ledtråd till vad den ledande koefficienten i p(x) måste vara.

Yngve skrev:

Nej om du subtraherar ett andragradspolynom från ett tredjegradspolynom så blir resultatet ett tredjegradspolynom eftersom det inte finns någon term av tredje graden  i andragradspolynomet som kan "ta ut" tredjegradstermen i tredjegradspolynomet.

Med det tipset fick du en ledtråd till vad den ledande koefficienten i p(x) måste vara.

men de subtraherar graden och inte hela funktionen? Det står dessutom gäller att grad...

Även om båda är andragradare, vad betyder det att skillnaden blir 1? 

Jag vet inte riktigt om det är meningen att subtrahera funktionerna från varandra men blir det inte så här istället om vi subtraherar dem:

p(x)= 2x² -8x +7 för 

2x² - 8x+7 -2x²+8x-6 = 1

och om vi sätter p(x) i uttrycket för f(x) funktionen ser annorlunda ut 

Nej det står grad(p(x) - q(x), inte grad(p(x)) - grad(q(x)).

Exempel:

Om g(x) = 2x²+x+3 och h(x) = x²-2x+1 så är g(x) - h(x) = x²+3x+2 och vi har då att

• grad(g(x)) = 2 eftersom g(x) har grad 2
• grad(h(x)) = 2 eftersom h(x) har grad 2
• grad(g(x) - h(x)) = 2 eftersom g(x) - h(x) har grad 2

Yngve skrev:

Nej det står grad(p(x) - q(x), inte grad(p(x)) - grad(q(x)).

Exempel:

Om f(x) = 2x²+x+3 och g(x) = x²-2x+1 så är f(x) - g(x) = x²+3x+2 och vi har då att

• grad(f(x)) = 2 eftersom f(x) har grad 2
• grad(g(x)) = 2 efrersom g(x) har grad 2
• grad(f(x) - g(x)) = 2 eftersom f(x) - g(x) har grad 2

Tack för förtydligandet. Borde inte 

p(x)= 2x² -8x +7 

2x² - 8x+7 -2x²+8x-6 = 1

stämma då? Men när jag ritar funktionen blir det fel. 

Nichrome skrev:

Tack för förtydligandet. Borde inte 

p(x)= 2x² -8x +7 

2x² - 8x+7 -2x²+8x-6 = 1

stämma då? Men när jag ritar funktionen blir det fel. 

Nej, "polynomet" 1 har gradtal 0.

För att polynomet ska ha gradtal 1 så måste det finnas en förstagradsterm med.

• Ett tredjegradspolynom har gradtal 3
• Ett andragradspolynom har gradtal 2
• Ett förstagradspolynom har gradtal 1
• Ett nolltegradspolynom (konstant uttryck) har gradtal 0.

Repetera gärna begteppet gradtal, till exempel här.

Yngve skrev:

...

Nej, "polynomet" 1 har gradtal 0.

För att polynomet ska ha gradtal 1 så måste det finnas en förstagradsterm med.

• Ett tredjegradspolynom har gradtal 3
• Ett andragradspolynom har gradtal 2
• Ett förstagradspolynom har gradtal 1
• Ett nolltegradspolynom (konstant uttryck) har gradtal 0.

Jag förstår hur vi definierar graden för ett polynom men jag hänger inte riktigt med när det kommer till uttrycket i uppgiften, en gång subtraherar vi funktionerna och får 1 men det är egentligen graden vi subtraherar? Hur kan 1 vara gradtal och inte själva differensen mellan funktionerna när vi subtraherar dem? 

Och även nu när vi vet att polynomet ska innehålla en föstagradsterm, hur kan vi ta reda på resten av funktionen? 

Om till exempel g(x) = 2x²+3x+1 och h(x) = 2x²+x+3 så är g(x) - h(x) = 2x-2, dvs ett polynom av grad 1.

Det betyder att grad(g(x) - h(x)) = 1.

Detta eftersom de båda andragradstermerna tar ut varandra men att de båda förstagradstermerna inte tar ut varandra.

Är du med på det?

Yngve skrev:

Om till exempel g(x) = 2x²+3x+1 och h(x) = 2x²+x+3 så är g(x) - h(x) = 2x-2, dvs ett polynom av grad 1.

Det betyder att grad(g(x) - h(x)) = 1.

Detta eftersom de båda andragradstermerna tar ut varandra men att de båda förstagradstermerna inte tar ut varandra.

Är du med på det?

Jo det förstår jag. 

Bra.

Om du nu sätter p(x) = ax²+bx+c så kan du med hjälp av ovanstående lista ut vad a måste vara och vad b inte får vara, eller hur?

Yngve skrev:

Bra.

Om du nu sätter p(x) = ax²+bx+c så kan du med hjälp av ovanstående lista ut vad a måste vara och vad b inte får vara, eller hur?

Det är just här jag tappar bort mig, för att vi ska ha en förstagradsterm så får b bara vara vilket tal som helst förutom 0? Och a måste vara 2 för att annars blir inte differensen 1? 

Hur hade vi resonerat om differensen var t.ex 2? 

Nästan.

 Vi vill att p(x) - q(x) ska vara ett förstagradspolynom, dvs det ska inte finnas någon andragradsterm men det ska finnas en förstagradsterm.

Eftersom p(x) - q(x) = (ax²+bx+c) - (2x²-8x+6) = (a-2)x²+(b+8)x+(c-6) så gäller det att a måste vara lika med 2 och att b inte får vara lika med -8. Och att c kan ha vilket värde som helst.

=============

Om vi ville ha att differensen skulle ha gradtal 2 så skulle det betyda att a inte får vara lika med 2. Koefficienterna b och c kan i det fallet ha vilka värden som helst.

Yngve skrev:

Nästan.

 Vi vill att p(x) - q(x) ska vara ett förstagradspolynom, dvs det ska inte finnas någon andragradsterm men det ska finnas en förstagradsterm.

Eftersom p(x) - q(x) = (ax²+bx+c) - (2x²-8x+6) = (a-2)x²+(b+8)x+(c-6) så gäller det att a måste vara lika med 2 och att b inte får vara lika med -8. Och att c kan ha vilket värde som helst.

=============

Om vi ville ha att differensen skulle ha gradtal 2 så skulle det betyda att a inte får vara lika med 2. Koefficienterna b och c kan i det fallet ha vilka värden som helst.

Så b kan vara vilket tal som helst förutom -8, för att om b = -8 då drar de ut varandra och vi får inte en förstagradsterm. Betyder det då att jag kan välja ett valfritt värde för c i så fall? Och samma för b (förutom -8 dvs)

Nej, koefficienterna är inte valfria. Tänk på att p(x) / q(x) ska ge grafen i bilden. Du kan därför läsa av punkter från bilden att bestämma p(x) med. T.ex. ser du ett nollställe vid x=2, så f(2) är 0:

$\dfrac{p(2)}{q(2)} = 0$

Ur den ekvationen får du fram att p(2) = 0, så x=2 är ett nollställe till p(x).

Jag skrev ett ekvationssystem med hjälp av nollställena och fick att p(x) = 2x² -2x - 4 

OK bra, det stämmer.