Bestäm p

Hej, jag behöver hjälp med följande uppgift: För tangenten till en kurva i den punkt där x = a gäller att k = y'(a). För normalen till kurvan gäller $k_{n} = - \frac{1}{y^{'} (a)}$ .

Då x $\neq$ 0 gäller att alla normaler till kurvan f(x) = 0,2x² skär y-axeln ovanför punkten (0, p). Bestäm p.

Såhär tänkte jag: Lutningen för f(x) i punkten x = a är 0,4a. Om en linje ska vara en normal till kurvan i den punkten så måste den ha k-värdet $- \frac{1}{0, 4 a} = - \frac{1}{\frac{2 a}{5}} = - \frac{5}{2 a}$ . Sedan ska normalen gå igenom punkten (a, ; 0,2a²). Jag fick då fram att normalens ekvation blir y = $- \frac{5}{2 a} + 0, 2 a^{2} + \frac{5}{2}$ . Att normalen skär y-axeln ovanför punkten (0, p) innebär att m-värdet ska vara större än p men det är här jag fastnar då jag får olikheten 0,2a² + $\frac{5}{2}$ > p. Vad ska jag göra nu? Tacksam för svar! :)

Du har ju fått fram normalens ekvation rätt, bortsett från att du tappat bort faktorn x efter k-värdet

Om du betraktar uttrycket för m kan du se vilket dess minsta värde är för olika värden på a.
a får ju aldrig bli =0 men kan närma sig 0 hur mycket som helst.
Vilket värde blir då det minsta m kan ha?

Ja, a kan inte bli 0 men oändligt nära. Ett gränsvärde skulle väl då vara lämpligt? alltså $\lim_{x \to 0} (0, 2 a^{2} + \frac{5}{2}) = \frac{5}{2}$ . Sedan kan man väll kolla grafen till uttrycket och se att dess minipunkt är 2,5. Eftersom m = uttrycket och uttrycket har minsta värdet 2,5 så är det minsta m-värdet 2,5. Alltså, p < 2,5. Stämmer detta?

Ja, dvs p=2,5 - Alla normaler skär y-axeln ovanför detta värde

Ok, tack för hjälpen! :)

Svara

Visa senaste svar