Bestäm ordning

Jag skulle rekommendera att du explicit beräknar ett antal element i $<(2,2)>$.

Du är på rätt spår när du säger att du vill se hur många gånger man måste multiplicera elementet med sig själv innan det kommer tillbaks till $<(2,2)>$, som är identitetselementet. Tänk dock på att sidoklassen $<(2,2)>$ kan representeras av vilket element som helst i $<(2,2)>$, representationen med identitetselementet ($(0,0) + <(2,2)>$) är bara den enklaste.

så kan vi skriva om <(2,2)> till någon annan multipel (1,1),(1,0),(0,1)? och i så fall får ordning 1 genom att använda elementet (1,0) och sätta 1* (1,0)*(2,3)=(0,0) mod (2,2)

Förtydligande av mitt tidigare svar: Jag var lite slarvig när jag skrev hur många gånger man måste multiplicera elementet med sig själv. Jag menade inte multiplicera som i vanlig multiplikation mellan tal utan multiplicera som i att utföra gruppoperationen, vilket i detta fallet är mer likt addition av tal.

Jag är lite osäker på vad du menar med skriva om till annan multipel här.

Kommer du ihåg vad elementen i en kvotgrupp är och hur gruppoperationen definieras på en kvotgrupp?

B.N. skrev:

så kan vi skriva om <(2,2)> till någon annan multipel (1,1),(1,0),(0,1)? och i så fall får ordning 1 genom att använda elementet (1,0) och sätta 1* (1,0)*(2,3)=(0,0) mod (2,2)

 Va? Hur kom (1,1), (1,0), (0,1) in i bilden och varför involverar du multiplikation i ett additionsproblem. Endast (1,0) har något med den identitetssidoklassen men är enklare att motivera genom explicitenumerering. Om vi skriver ut elementen i $\langle (2,2) \rangle$ exempelvis med 7 rader pythonkod

```python
x = 2; y = 2
tuples = []
while (x,y) not in tuples:
   tuples.append((x,y))
   x = (x + 2)%8
   y = (y + 2)%7
print(tuples)
```

får vi

(2, 2), (4, 4), (6, 6), (0, 1), (2, 3), (4, 5), (6, 0), (0, 2), (2, 4), (4, 6), (6, 1), (0, 3), (2, 5), (4, 0), (6, 2), (0, 4), (2, 6), (4, 1), (6, 3), (0, 5), (2, 0), (4, 2), (6, 4), (0, 6), (2, 1), (4, 3), (6, 5), (0, 0)

Och ser direkt att två redan är ett element i mängden och därmed effektivt en multipel av (2,2) (i praktiken (2,3) = 5 *(2,2)) och när man adderar sådana element så förblir de i mängden och har därmed ordning 1 då sidoklasserna är lika

$(2,3)+\langle (2,2) \rangle = (0,0) + \langle (2,2) \rangle$

Så hur kunde man kommit fram till detta utan explicit enumerering? Omtolkkning:Ja frågan är ju helt enkellt vad det minsta heltalettalet $n$ sådant att det finns ett heltal $m$ sådant att $n(2,3) = m(2,2)$

Eller

$2n - 2m \equiv_8 0$

$3n - 2m \equiv_7 0$

vilket har en lösning 

n = 1 och m = 5 vilket var det förväntade. Problemet är alltså ekvivalent med att hitta minsta lösningen problem av typen ovan,

Övning kan nu vara att hitta ordnigen hos en klass inte motsvarande ett element i $\langle (2,2) \rangle$, exempelvis (5,2)