Bestäm omkrets

En rätvinklig triangel har arean 30 cm^2. Bestäm omkretsen för den triangel där summan av kateterna är minsta möjliga.

Jag ritade en rätvinklig triangel med kateterna a och b, och en hypotenusa c.

Pythagoras sats a^2 + b^2 = c^2

Omkretsen = a + b + c

Arean: a*b/2=30

Arean : ab=60

Hur ska jag fortsätta sen?

Du har att ab=60. Testa nu lite värden på a och b sådana att detta samband uppfylls. Ser du något mönster för vilka värden som summan a+b blir så liten som möjligt?

Antag först att de båda kateterna är lika stora. Ytan blir då a²/2. Omkretsen är lätt att räkna ut.

Antag sedan att kateterna ökar respektive minskar med små värden ε. Ytan blir då (a+ε)•(a-ε)/2. Vad händer då med omkretsen?

Svara